Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51284 / 49684
↖ ↑ ↗
← S 67.651033°
E101.711426°		 ← 232.25 m → S 67.651033°
E101.716919°		 →
↑
232.22 m
↓
↑
232.22 m
↓
S 67.653122°
E101.711426°		 ← 232.23 m →
53 931 m²		 S 67.653122°
E101.716919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782539367675781 y=0.758125305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782539367675781 × 216)
    floor (0.782539367675781 × 65536)
    floor (51284.5)     		tx = 51284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758125305175781 × 216)
    floor (0.758125305175781 × 65536)
    floor (49684.5)     		ty = 49684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51284 / 49684 ti = "16/51284/49684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51284/49684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51284 ÷ 216
    51284 ÷ 65536     		x = 0.78253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49684 ÷ 216
    49684 ÷ 65536     		y = 0.75811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78253173828125 × 2 - 1) × π
    0.5650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77519927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.5162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62180118794574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77519927} λ = 1.77519927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62180118794574))-π/2
    2×atan(0.197542567158895)-π/2
    2×0.195031530857859-π/2
    0.390063061715718-1.57079632675     		φ = -1.18073327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77519927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18073327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.651033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51284 KachelY 49684 1.77519927 -1.18073327 101.711426 -67.651033
    Oben rechts KachelX + 1 51285 KachelY 49684 1.77529514 -1.18073327 101.716919 -67.651033
    Unten links KachelX 51284 KachelY + 1 49685 1.77519927 -1.18076972 101.711426 -67.653122
    Unten rechts KachelX + 1 51285 KachelY + 1 49685 1.77529514 -1.18076972 101.716919 -67.653122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18073327--1.18076972) × R
    3.64500000000767e-05 × 6371000     		dl = 232.222950000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18073327--1.18076972) × R
    3.64500000000767e-05 × 6371000     		dr = 232.222950000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77519927-1.77529514) × cos(-1.18073327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380246736168163 × 6371000     		do = 232.250056033926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77519927-1.77529514) × cos(-1.18076972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38021302385424 × 6371000     		du = 232.229464964883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18073327)-sin(-1.18076972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380246736168163-0.38021302385424)×R²
    abs(1.77529514-1.77519927)×3.37123139230178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37123139230178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37123139230178e-05×40589641000000     		ar = 53931.4022967046m²