Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51276 / 49692
↖ ↑ ↗
← S 67.667737°
E101.667481°		 ← 232.09 m → S 67.667737°
E101.672974°		 →
↑
232.10 m
↓
↑
232.10 m
↓
S 67.669824°
E101.667481°		 ← 232.06 m →
53 864 m²		 S 67.669824°
E101.672974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782417297363281 y=0.758247375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782417297363281 × 216)
    floor (0.782417297363281 × 65536)
    floor (51276.5)     		tx = 51276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758247375488281 × 216)
    floor (0.758247375488281 × 65536)
    floor (49692.5)     		ty = 49692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51276 / 49692 ti = "16/51276/49692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51276/49692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51276 ÷ 216
    51276 ÷ 65536     		x = 0.78240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49692 ÷ 216
    49692 ÷ 65536     		y = 0.75823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78240966796875 × 2 - 1) × π
    0.5648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77443228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.5164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62256817833966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77443228} λ = 1.77443228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62256817833966))-π/2
    2×atan(0.197391111997246)-π/2
    2×0.194885759770711-π/2
    0.389771519541423-1.57079632675     		φ = -1.18102481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77443228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.667481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18102481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.667737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51276 KachelY 49692 1.77443228 -1.18102481 101.667481 -67.667737
    Oben rechts KachelX + 1 51277 KachelY 49692 1.77452815 -1.18102481 101.672974 -67.667737
    Unten links KachelX 51276 KachelY + 1 49693 1.77443228 -1.18106124 101.667481 -67.669824
    Unten rechts KachelX + 1 51277 KachelY + 1 49693 1.77452815 -1.18106124 101.672974 -67.669824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18102481--1.18106124) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dl = 232.095529999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18102481--1.18106124) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dr = 232.095529999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77443228-1.77452815) × cos(-1.18102481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379977079014787 × 6371000     		do = 232.085352742551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77443228-1.77452815) × cos(-1.18106124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379943381161929 × 6371000     		du = 232.064770506149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18102481)-sin(-1.18106124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379977079014787-0.379943381161929)×R²
    abs(1.77452815-1.77443228)×3.36978528586163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36978528586163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36978528586163e-05×40589641000000     		ar = 53863.5844336458m²