Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51271 / 49709
↖ ↑ ↗
← S 67.703194°
E101.640015°		 ← 231.74 m → S 67.703194°
E101.645508°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
S 67.705278°
E101.640015°		 ← 231.72 m →
53 694 m²		 S 67.705278°
E101.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782341003417969 y=0.758506774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782341003417969 × 216)
    floor (0.782341003417969 × 65536)
    floor (51271.5)     		tx = 51271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758506774902344 × 216)
    floor (0.758506774902344 × 65536)
    floor (49709.5)     		ty = 49709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51271 / 49709 ti = "16/51271/49709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51271/49709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51271 ÷ 216
    51271 ÷ 65536     		x = 0.782333374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49709 ÷ 216
    49709 ÷ 65536     		y = 0.758499145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782333374023438 × 2 - 1) × π
    0.564666748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77395291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758499145507812 × 2 - 1) × π
    -0.516998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62419803292674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77395291} λ = 1.77395291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62419803292674))-π/2
    2×atan(0.197069655222967)-π/2
    2×0.194576339396851-π/2
    0.389152678793703-1.57079632675     		φ = -1.18164365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77395291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.640015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18164365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.703194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51271 KachelY 49709 1.77395291 -1.18164365 101.640015 -67.703194
    Oben rechts KachelX + 1 51272 KachelY 49709 1.77404878 -1.18164365 101.645508 -67.703194
    Unten links KachelX 51271 KachelY + 1 49710 1.77395291 -1.18168002 101.640015 -67.705278
    Unten rechts KachelX + 1 51272 KachelY + 1 49710 1.77404878 -1.18168002 101.645508 -67.705278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18164365--1.18168002) × R
    3.63699999998968e-05 × 6371000     		dl = 231.713269999342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18164365--1.18168002) × R
    3.63699999998968e-05 × 6371000     		dr = 231.713269999342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77395291-1.77404878) × cos(-1.18164365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379404581828525 × 6371000     		do = 231.735678462822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77395291-1.77404878) × cos(-1.18168002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379370930930848 × 6371000     		du = 231.715124906071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18164365)-sin(-1.18168002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379404581828525-0.379370930930848)×R²
    abs(1.77404878-1.77395291)×3.36508976777616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36508976777616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36508976777616e-05×40589641000000     		ar = 53693.8505720402m²