Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51268 / 49627
↖ ↑ ↗
← S 67.531672°
E101.623535°		 ← 233.43 m → S 67.531672°
E101.629028°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 67.533772°
E101.623535°		 ← 233.41 m →
54 487 m²		 S 67.533772°
E101.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782295227050781 y=0.757255554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782295227050781 × 216)
    floor (0.782295227050781 × 65536)
    floor (51268.5)     		tx = 51268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757255554199219 × 216)
    floor (0.757255554199219 × 65536)
    floor (49627.5)     		ty = 49627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51268 / 49627 ti = "16/51268/49627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51268/49627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51268 ÷ 216
    51268 ÷ 65536     		x = 0.78228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49627 ÷ 216
    49627 ÷ 65536     		y = 0.757247924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78228759765625 × 2 - 1) × π
    0.5645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77366529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757247924804688 × 2 - 1) × π
    -0.514495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61633638138905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77366529} λ = 1.77366529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61633638138905))-π/2
    2×atan(0.198625054172236)-π/2
    2×0.196073147662094-π/2
    0.392146295324188-1.57079632675     		φ = -1.17865003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77366529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17865003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.531672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51268 KachelY 49627 1.77366529 -1.17865003 101.623535 -67.531672
    Oben rechts KachelX + 1 51269 KachelY 49627 1.77376116 -1.17865003 101.629028 -67.531672
    Unten links KachelX 51268 KachelY + 1 49628 1.77366529 -1.17868667 101.623535 -67.533772
    Unten rechts KachelX + 1 51269 KachelY + 1 49628 1.77376116 -1.17868667 101.629028 -67.533772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17865003--1.17868667) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17865003--1.17868667) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77366529-1.77376116) × cos(-1.17865003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382172667264065 × 6371000     		do = 233.426391193165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77366529-1.77376116) × cos(-1.17868667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382138808315757 × 6371000     		du = 233.405710561634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17865003)-sin(-1.17868667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382172667264065-0.382138808315757)×R²
    abs(1.77376116-1.77366529)×3.38589483078744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38589483078744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38589483078744e-05×40589641000000     		ar = 54487.1117139115m²