Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51265 / 49717
↖ ↑ ↗
← S 67.719861°
E101.607055°		 ← 231.60 m → S 67.719861°
E101.612549°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
S 67.721944°
E101.607055°		 ← 231.57 m →
53 632 m²		 S 67.721944°
E101.612549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782249450683594 y=0.758628845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782249450683594 × 216)
    floor (0.782249450683594 × 65536)
    floor (51265.5)     		tx = 51265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758628845214844 × 216)
    floor (0.758628845214844 × 65536)
    floor (49717.5)     		ty = 49717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51265 / 49717 ti = "16/51265/49717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51265/49717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51265 ÷ 216
    51265 ÷ 65536     		x = 0.782241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49717 ÷ 216
    49717 ÷ 65536     		y = 0.758621215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782241821289062 × 2 - 1) × π
    0.564483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77337766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758621215820312 × 2 - 1) × π
    -0.517242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62496502332066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77337766} λ = 1.77337766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62496502332066))-π/2
    2×atan(0.196918562641164)-π/2
    2×0.194430891177632-π/2
    0.388861782355263-1.57079632675     		φ = -1.18193454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77337766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.607055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18193454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.719861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51265 KachelY 49717 1.77337766 -1.18193454 101.607055 -67.719861
    Oben rechts KachelX + 1 51266 KachelY 49717 1.77347354 -1.18193454 101.612549 -67.719861
    Unten links KachelX 51265 KachelY + 1 49718 1.77337766 -1.18197089 101.607055 -67.721944
    Unten rechts KachelX + 1 51266 KachelY + 1 49718 1.77347354 -1.18197089 101.612549 -67.721944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18193454--1.18197089) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dl = 231.585850000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18193454--1.18197089) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dr = 231.585850000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77337766-1.77347354) × cos(-1.18193454) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379135425372433 × 6371000     		do = 231.595435709028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77337766-1.77347354) × cos(-1.18197089) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379101788969481 × 6371000     		du = 231.574888862504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18193454)-sin(-1.18197089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379135425372433-0.379101788969481)×R²
    abs(1.77347354-1.77337766)×3.3636402951509e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.3636402951509e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.3636402951509e-05×40589641000000     		ar = 53631.8466611865m²