Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51261 / 49820
↖ ↑ ↗
← S 67.933396°
E101.585083°		 ← 229.46 m → S 67.933396°
E101.590576°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 67.935460°
E101.585083°		 ← 229.44 m →
52 656 m²		 S 67.935460°
E101.590576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782188415527344 y=0.760200500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782188415527344 × 216)
    floor (0.782188415527344 × 65536)
    floor (51261.5)     		tx = 51261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760200500488281 × 216)
    floor (0.760200500488281 × 65536)
    floor (49820.5)     		ty = 49820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51261 / 49820 ti = "16/51261/49820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51261/49820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51261 ÷ 216
    51261 ÷ 65536     		x = 0.782180786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49820 ÷ 216
    49820 ÷ 65536     		y = 0.76019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782180786132812 × 2 - 1) × π
    0.564361572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77299417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    -0.5203857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6348400246424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77299417} λ = 1.77299417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6348400246424))-π/2
    2×atan(0.194983561369252)-π/2
    2×0.192567440961268-π/2
    0.385134881922537-1.57079632675     		φ = -1.18566144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77299417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.585083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18566144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.933396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51261 KachelY 49820 1.77299417 -1.18566144 101.585083 -67.933396
    Oben rechts KachelX + 1 51262 KachelY 49820 1.77309004 -1.18566144 101.590576 -67.933396
    Unten links KachelX 51261 KachelY + 1 49821 1.77299417 -1.18569746 101.585083 -67.935460
    Unten rechts KachelX + 1 51262 KachelY + 1 49821 1.77309004 -1.18569746 101.590576 -67.935460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18566144--1.18569746) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18566144--1.18569746) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77299417-1.77309004) × cos(-1.18566144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375684146200675 × 6371000     		do = 229.463281882259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77299417-1.77309004) × cos(-1.18569746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375650764502427 × 6371000     		du = 229.442892749228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18566144)-sin(-1.18569746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375684146200675-0.375650764502427)×R²
    abs(1.77309004-1.77299417)×3.33816982479029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33816982479029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33816982479029e-05×40589641000000     		ar = 52655.6792124336m²