Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5126 / 1245
↖ ↑ ↗
← N 77.186434°
E 45.263672°		 ← 1 083.72 m → N 77.186434°
E 45.307617°		 →
↑
1 084.15 m
↓
↑
1 084.15 m
↓
N 77.176684°
E 45.263672°		 ← 1 084.53 m →
1 175 362 m²		 N 77.176684°
E 45.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62579345703125 y=0.15203857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62579345703125 × 213)
    floor (0.62579345703125 × 8192)
    floor (5126.5)     		tx = 5126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15203857421875 × 213)
    floor (0.15203857421875 × 8192)
    floor (1245.5)     		ty = 1245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5126 / 1245 ti = "13/5126/1245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5126/1245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5126 ÷ 213
    5126 ÷ 8192     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1245 ÷ 213
    1245 ÷ 8192     		y = 0.1519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1519775390625 × 2 - 1) × π
    0.696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18668961306848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18668961306848))-π/2
    2×atan(8.90568300698239)-π/2
    2×1.45897686757553-π/2
    2.91795373515106-1.57079632675     		φ = 1.34715741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34715741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.186434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5126 KachelY 1245 0.79000011 1.34715741 45.263672 77.186434
    Oben rechts KachelX + 1 5127 KachelY 1245 0.79076710 1.34715741 45.307617 77.186434
    Unten links KachelX 5126 KachelY + 1 1246 0.79000011 1.34698724 45.263672 77.176684
    Unten rechts KachelX + 1 5127 KachelY + 1 1246 0.79076710 1.34698724 45.307617 77.176684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34715741-1.34698724) × R
    0.000170170000000081 × 6371000     		dl = 1084.15307000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34715741-1.34698724) × R
    0.000170170000000081 × 6371000     		dr = 1084.15307000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79076710) × cos(1.34715741) × R
    0.000766989999999912 × 0.221779379996299 × 6371000     		do = 1083.72345221215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79076710) × cos(1.34698724) × R
    0.000766989999999912 × 0.221945309018804 × 6371000     		du = 1084.53426326724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34715741)-sin(1.34698724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221779379996299-0.221945309018804)×R²
    abs(0.79076710-0.79000011)×0.000165929022505701×R²
    0.000766989999999912×0.000165929022505701×6371000²
    0.000766989999999912×0.000165929022505701×40589641000000     		ar = 1175361.63223141m²