Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51258 / 49699
↖ ↑ ↗
← S 67.682344°
E101.568604°		 ← 231.94 m → S 67.682344°
E101.574097°		 →
↑
231.90 m
↓
↑
231.90 m
↓
S 67.684429°
E101.568604°		 ← 231.92 m →
53 786 m²		 S 67.684429°
E101.574097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782142639160156 y=0.758354187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782142639160156 × 216)
    floor (0.782142639160156 × 65536)
    floor (51258.5)     		tx = 51258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758354187011719 × 216)
    floor (0.758354187011719 × 65536)
    floor (49699.5)     		ty = 49699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51258 / 49699 ti = "16/51258/49699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51258/49699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51258 ÷ 216
    51258 ÷ 65536     		x = 0.782135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49699 ÷ 216
    49699 ÷ 65536     		y = 0.758346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782135009765625 × 2 - 1) × π
    0.56427001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77270655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758346557617188 × 2 - 1) × π
    -0.516693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62323929493434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77270655} λ = 1.77270655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62323929493434))-π/2
    2×atan(0.197258683988629)-π/2
    2×0.194758294877506-π/2
    0.389516589755011-1.57079632675     		φ = -1.18127974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77270655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.568604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18127974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.682344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51258 KachelY 49699 1.77270655 -1.18127974 101.568604 -67.682344
    Oben rechts KachelX + 1 51259 KachelY 49699 1.77280242 -1.18127974 101.574097 -67.682344
    Unten links KachelX 51258 KachelY + 1 49700 1.77270655 -1.18131614 101.568604 -67.684429
    Unten rechts KachelX + 1 51259 KachelY + 1 49700 1.77280242 -1.18131614 101.574097 -67.684429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18127974--1.18131614) × R
    3.64000000001585e-05 × 6371000     		dl = 231.90440000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18127974--1.18131614) × R
    3.64000000001585e-05 × 6371000     		dr = 231.90440000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77270655-1.77280242) × cos(-1.18127974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379741257464724 × 6371000     		do = 231.94131582387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77270655-1.77280242) × cos(-1.18131614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379707583837429 × 6371000     		du = 231.920748384146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18127974)-sin(-1.18131614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379741257464724-0.379707583837429)×R²
    abs(1.77280242-1.77270655)×3.36736272953386e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36736272953386e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36736272953386e-05×40589641000000     		ar = 53785.8268477207m²