Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51257 / 49821
↖ ↑ ↗
← S 67.935460°
E101.563110°		 ← 229.47 m → S 67.935460°
E101.568604°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
S 67.937523°
E101.563110°		 ← 229.45 m →
52 642 m²		 S 67.937523°
E101.568604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782127380371094 y=0.760215759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782127380371094 × 216)
    floor (0.782127380371094 × 65536)
    floor (51257.5)     		tx = 51257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760215759277344 × 216)
    floor (0.760215759277344 × 65536)
    floor (49821.5)     		ty = 49821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51257 / 49821 ti = "16/51257/49821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51257/49821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51257 ÷ 216
    51257 ÷ 65536     		x = 0.782119750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49821 ÷ 216
    49821 ÷ 65536     		y = 0.760208129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782119750976562 × 2 - 1) × π
    0.564239501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77261067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760208129882812 × 2 - 1) × π
    -0.520416259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63493589844164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77261067} λ = 1.77261067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63493589844164))-π/2
    2×atan(0.194964868450529)-π/2
    2×0.192549432628323-π/2
    0.385098865256646-1.57079632675     		φ = -1.18569746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77261067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.563110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18569746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.935460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51257 KachelY 49821 1.77261067 -1.18569746 101.563110 -67.935460
    Oben rechts KachelX + 1 51258 KachelY 49821 1.77270655 -1.18569746 101.568604 -67.935460
    Unten links KachelX 51257 KachelY + 1 49822 1.77261067 -1.18573347 101.563110 -67.937523
    Unten rechts KachelX + 1 51258 KachelY + 1 49822 1.77270655 -1.18573347 101.568604 -67.937523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18569746--1.18573347) × R
    3.60099999998642e-05 × 6371000     		dl = 229.419709999135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18569746--1.18573347) × R
    3.60099999998642e-05 × 6371000     		dr = 229.419709999135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77261067-1.77270655) × cos(-1.18569746) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.375650764502427 × 6371000     		do = 229.46682545982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77261067-1.77270655) × cos(-1.18573347) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.375617391584543 × 6371000     		du = 229.446439563539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18569746)-sin(-1.18573347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375650764502427-0.375617391584543)×R²
    abs(1.77270655-1.77261067)×3.33729178839115e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.33729178839115e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.33729178839115e-05×40589641000000     		ar = 52641.8740940283m²