Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51254 / 48254
↖ ↑ ↗
← S 64.468059°
E101.546631°		 ← 263.29 m → S 64.468059°
E101.552124°		 →
↑
263.25 m
↓
↑
263.25 m
↓
S 64.470426°
E101.546631°		 ← 263.26 m →
69 307 m²		 S 64.470426°
E101.552124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782081604003906 y=0.736305236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782081604003906 × 216)
    floor (0.782081604003906 × 65536)
    floor (51254.5)     		tx = 51254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736305236816406 × 216)
    floor (0.736305236816406 × 65536)
    floor (48254.5)     		ty = 48254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51254 / 48254 ti = "16/51254/48254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51254/48254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51254 ÷ 216
    51254 ÷ 65536     		x = 0.782073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48254 ÷ 216
    48254 ÷ 65536     		y = 0.736297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782073974609375 × 2 - 1) × π
    0.56414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77232305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736297607421875 × 2 - 1) × π
    -0.47259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48470165503238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77232305} λ = 1.77232305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48470165503238))-π/2
    2×atan(0.226569926591421)-π/2
    2×0.222808217740765-π/2
    0.44561643548153-1.57079632675     		φ = -1.12517989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77232305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.546631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12517989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.468059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51254 KachelY 48254 1.77232305 -1.12517989 101.546631 -64.468059
    Oben rechts KachelX + 1 51255 KachelY 48254 1.77241893 -1.12517989 101.552124 -64.468059
    Unten links KachelX 51254 KachelY + 1 48255 1.77232305 -1.12522121 101.546631 -64.470426
    Unten rechts KachelX + 1 51255 KachelY + 1 48255 1.77241893 -1.12522121 101.552124 -64.470426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12517989--1.12522121) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dl = 263.249720000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12517989--1.12522121) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dr = 263.249720000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77232305-1.77241893) × cos(-1.12517989) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431014200905514 × 6371000     		do = 263.285662523978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77232305-1.77241893) × cos(-1.12522121) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.430976915636237 × 6371000     		du = 263.262886762058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12517989)-sin(-1.12522121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431014200905514-0.430976915636237)×R²
    abs(1.77241893-1.77232305)×3.72852692774317e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.72852692774317e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.72852692774317e-05×40589641000000     		ar = 69306.8790928202m²