Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51253 / 48249
↖ ↑ ↗
← S 64.456218°
E101.541138°		 ← 263.37 m → S 64.456218°
E101.546631°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
S 64.458587°
E101.541138°		 ← 263.35 m →
69 363 m²		 S 64.458587°
E101.546631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782066345214844 y=0.736228942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782066345214844 × 216)
    floor (0.782066345214844 × 65536)
    floor (51253.5)     		tx = 51253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736228942871094 × 216)
    floor (0.736228942871094 × 65536)
    floor (48249.5)     		ty = 48249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51253 / 48249 ti = "16/51253/48249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51253/48249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51253 ÷ 216
    51253 ÷ 65536     		x = 0.782058715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48249 ÷ 216
    48249 ÷ 65536     		y = 0.736221313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782058715820312 × 2 - 1) × π
    0.564117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77222718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736221313476562 × 2 - 1) × π
    -0.472442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48422228603618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77222718} λ = 1.77222718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48422228603618))-π/2
    2×atan(0.226678563226138)-π/2
    2×0.222911547508523-π/2
    0.445823095017046-1.57079632675     		φ = -1.12497323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77222718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.541138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12497323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.456218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51253 KachelY 48249 1.77222718 -1.12497323 101.541138 -64.456218
    Oben rechts KachelX + 1 51254 KachelY 48249 1.77232305 -1.12497323 101.546631 -64.456218
    Unten links KachelX 51253 KachelY + 1 48250 1.77222718 -1.12501457 101.541138 -64.458587
    Unten rechts KachelX + 1 51254 KachelY + 1 48250 1.77232305 -1.12501457 101.546631 -64.458587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12497323--1.12501457) × R
    4.13400000001118e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12497323--1.12501457) × R
    4.13400000001118e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77222718-1.77232305) × cos(-1.12497323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43120067034766 × 6371000     		do = 263.372095864146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77222718-1.77232305) × cos(-1.12501457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431163370714054 × 6371000     		du = 263.349313704115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12497323)-sin(-1.12501457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43120067034766-0.431163370714054)×R²
    abs(1.77232305-1.77222718)×3.72996336053255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72996336053255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72996336053255e-05×40589641000000     		ar = 69363.1892245952m²