Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51247 / 49265
↖ ↑ ↗
← S 66.759417°
E101.508179°		 ← 241.01 m → S 66.759417°
E101.513672°		 →
↑
241.01 m
↓
↑
241.01 m
↓
S 66.761585°
E101.508179°		 ← 240.99 m →
58 085 m²		 S 66.761585°
E101.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781974792480469 y=0.751731872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781974792480469 × 216)
    floor (0.781974792480469 × 65536)
    floor (51247.5)     		tx = 51247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751731872558594 × 216)
    floor (0.751731872558594 × 65536)
    floor (49265.5)     		ty = 49265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51247 / 49265 ti = "16/51247/49265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51247/49265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51247 ÷ 216
    51247 ÷ 65536     		x = 0.781967163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49265 ÷ 216
    49265 ÷ 65536     		y = 0.751724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781967163085938 × 2 - 1) × π
    0.563934326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77165194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751724243164062 × 2 - 1) × π
    -0.503448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58163006606413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77165194} λ = 1.77165194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58163006606413))-π/2
    2×atan(0.205639618688415)-π/2
    2×0.202812342361782-π/2
    0.405624684723565-1.57079632675     		φ = -1.16517164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77165194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.508179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16517164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.759417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51247 KachelY 49265 1.77165194 -1.16517164 101.508179 -66.759417
    Oben rechts KachelX + 1 51248 KachelY 49265 1.77174781 -1.16517164 101.513672 -66.759417
    Unten links KachelX 51247 KachelY + 1 49266 1.77165194 -1.16520947 101.508179 -66.761585
    Unten rechts KachelX + 1 51248 KachelY + 1 49266 1.77174781 -1.16520947 101.513672 -66.761585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16517164--1.16520947) × R
    3.78299999999054e-05 × 6371000     		dl = 241.014929999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16517164--1.16520947) × R
    3.78299999999054e-05 × 6371000     		dr = 241.014929999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77165194-1.77174781) × cos(-1.16517164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39459283458443 × 6371000     		do = 241.012477493798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77165194-1.77174781) × cos(-1.16520947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394558073976597 × 6371000     		du = 240.991246139655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16517164)-sin(-1.16520947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39459283458443-0.394558073976597)×R²
    abs(1.77174781-1.77165194)×3.47606078330287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47606078330287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47606078330287e-05×40589641000000     		ar = 58085.0468623256m²