Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51243 / 48251
↖ ↑ ↗
← S 64.460955°
E101.486206°		 ← 263.33 m → S 64.460955°
E101.491699°		 →
↑
263.31 m
↓
↑
263.31 m
↓
S 64.463323°
E101.486206°		 ← 263.30 m →
69 334 m²		 S 64.463323°
E101.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781913757324219 y=0.736259460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781913757324219 × 216)
    floor (0.781913757324219 × 65536)
    floor (51243.5)     		tx = 51243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736259460449219 × 216)
    floor (0.736259460449219 × 65536)
    floor (48251.5)     		ty = 48251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51243 / 48251 ti = "16/51243/48251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51243/48251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51243 ÷ 216
    51243 ÷ 65536     		x = 0.781906127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48251 ÷ 216
    48251 ÷ 65536     		y = 0.736251831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781906127929688 × 2 - 1) × π
    0.563812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77126844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736251831054688 × 2 - 1) × π
    -0.472503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48441403363466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77126844} λ = 1.77126844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48441403363466))-π/2
    2×atan(0.226635102322907)-π/2
    2×0.222870210238112-π/2
    0.445740420476224-1.57079632675     		φ = -1.12505591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77126844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.486206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12505591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.460955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51243 KachelY 48251 1.77126844 -1.12505591 101.486206 -64.460955
    Oben rechts KachelX + 1 51244 KachelY 48251 1.77136431 -1.12505591 101.491699 -64.460955
    Unten links KachelX 51243 KachelY + 1 48252 1.77126844 -1.12509724 101.486206 -64.463323
    Unten rechts KachelX + 1 51244 KachelY + 1 48252 1.77136431 -1.12509724 101.491699 -64.463323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12505591--1.12509724) × R
    4.13300000001726e-05 × 6371000     		dl = 263.3134300011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12505591--1.12509724) × R
    4.13300000001726e-05 × 6371000     		dr = 263.3134300011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77126844-1.77136431) × cos(-1.12505591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431126070343593 × 6371000     		do = 263.326531094021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77126844-1.77136431) × cos(-1.12509724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431088778259434 × 6371000     		du = 263.303753545098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12505591)-sin(-1.12509724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431126070343593-0.431088778259434)×R²
    abs(1.77136431-1.77126844)×3.72920841589797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72920841589797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72920841589797e-05×40589641000000     		ar = 69334.4133052328m²