Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51242 / 49674
↖ ↑ ↗
← S 67.630136°
E101.480713°		 ← 232.46 m → S 67.630136°
E101.486206°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
S 67.632226°
E101.480713°		 ← 232.44 m →
54 024 m²		 S 67.632226°
E101.486206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781898498535156 y=0.757972717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781898498535156 × 216)
    floor (0.781898498535156 × 65536)
    floor (51242.5)     		tx = 51242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757972717285156 × 216)
    floor (0.757972717285156 × 65536)
    floor (49674.5)     		ty = 49674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51242 / 49674 ti = "16/51242/49674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51242/49674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51242 ÷ 216
    51242 ÷ 65536     		x = 0.781890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49674 ÷ 216
    49674 ÷ 65536     		y = 0.757965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781890869140625 × 2 - 1) × π
    0.56378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77117257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.51593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62084244995334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77117257} λ = 1.77117257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62084244995334))-π/2
    2×atan(0.197732049540612)-π/2
    2×0.195213890191336-π/2
    0.390427780382672-1.57079632675     		φ = -1.18036855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77117257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18036855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.630136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51242 KachelY 49674 1.77117257 -1.18036855 101.480713 -67.630136
    Oben rechts KachelX + 1 51243 KachelY 49674 1.77126844 -1.18036855 101.486206 -67.630136
    Unten links KachelX 51242 KachelY + 1 49675 1.77117257 -1.18040503 101.480713 -67.632226
    Unten rechts KachelX + 1 51243 KachelY + 1 49675 1.77126844 -1.18040503 101.486206 -67.632226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18036855--1.18040503) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dl = 232.414079999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18036855--1.18040503) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dr = 232.414079999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77117257-1.77126844) × cos(-1.18036855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380584034958385 × 6371000     		do = 232.456074009829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77117257-1.77126844) × cos(-1.18040503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38055029995869 × 6371000     		du = 232.435469084594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18036855)-sin(-1.18040503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380584034958385-0.38055029995869)×R²
    abs(1.77126844-1.77117257)×3.37349996945013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37349996945013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37349996945013e-05×40589641000000     		ar = 54023.6701499001m²