Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51238 / 49796
↖ ↑ ↗
← S 67.883815°
E101.458740°		 ← 229.98 m → S 67.883815°
E101.464234°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
S 67.885883°
E101.458740°		 ← 229.96 m →
52 891 m²		 S 67.885883°
E101.464234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781837463378906 y=0.759834289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781837463378906 × 216)
    floor (0.781837463378906 × 65536)
    floor (51238.5)     		tx = 51238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759834289550781 × 216)
    floor (0.759834289550781 × 65536)
    floor (49796.5)     		ty = 49796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51238 / 49796 ti = "16/51238/49796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51238/49796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51238 ÷ 216
    51238 ÷ 65536     		x = 0.781829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49796 ÷ 216
    49796 ÷ 65536     		y = 0.75982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781829833984375 × 2 - 1) × π
    0.56365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77078907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.5196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63253905346063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77078907} λ = 1.77078907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63253905346063))-π/2
    2×atan(0.195432729488153)-π/2
    2×0.193000121263171-π/2
    0.386000242526343-1.57079632675     		φ = -1.18479608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77078907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.458740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18479608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.883815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51238 KachelY 49796 1.77078907 -1.18479608 101.458740 -67.883815
    Oben rechts KachelX + 1 51239 KachelY 49796 1.77088495 -1.18479608 101.464234 -67.883815
    Unten links KachelX 51238 KachelY + 1 49797 1.77078907 -1.18483218 101.458740 -67.885883
    Unten rechts KachelX + 1 51239 KachelY + 1 49797 1.77088495 -1.18483218 101.464234 -67.885883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18479608--1.18483218) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dl = 229.993099999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18479608--1.18483218) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dr = 229.993099999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77078907-1.77088495) × cos(-1.18479608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376485975882467 × 6371000     		do = 229.977015566898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77078907-1.77088495) × cos(-1.18483218) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3764525317915 × 6371000     		du = 229.956586194434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18479608)-sin(-1.18483218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376485975882467-0.3764525317915)×R²
    abs(1.77088495-1.77078907)×3.34440909668943e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34440909668943e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34440909668943e-05×40589641000000     		ar = 52890.7774374079m²