Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51232 / 49760
↖ ↑ ↗
← S 67.809245°
E101.425781°		 ← 230.69 m → S 67.809245°
E101.431274°		 →
↑
230.69 m
↓
↑
230.69 m
↓
S 67.811319°
E101.425781°		 ← 230.67 m →
53 216 m²		 S 67.811319°
E101.431274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781745910644531 y=0.759284973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781745910644531 × 216)
    floor (0.781745910644531 × 65536)
    floor (51232.5)     		tx = 51232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759284973144531 × 216)
    floor (0.759284973144531 × 65536)
    floor (49760.5)     		ty = 49760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51232 / 49760 ti = "16/51232/49760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51232/49760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51232 ÷ 216
    51232 ÷ 65536     		x = 0.78173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49760 ÷ 216
    49760 ÷ 65536     		y = 0.75927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77021383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75927734375 × 2 - 1) × π
    -0.5185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62908759668799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77021383} λ = 1.77021383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62908759668799))-π/2
    2×atan(0.196108422497779)-π/2
    2×0.193650873446453-π/2
    0.387301746892905-1.57079632675     		φ = -1.18349458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77021383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18349458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.809245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51232 KachelY 49760 1.77021383 -1.18349458 101.425781 -67.809245
    Oben rechts KachelX + 1 51233 KachelY 49760 1.77030970 -1.18349458 101.431274 -67.809245
    Unten links KachelX 51232 KachelY + 1 49761 1.77021383 -1.18353079 101.425781 -67.811319
    Unten rechts KachelX + 1 51233 KachelY + 1 49761 1.77030970 -1.18353079 101.431274 -67.811319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18349458--1.18353079) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dl = 230.693909999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18349458--1.18353079) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dr = 230.693909999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77021383-1.77030970) × cos(-1.18349458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377691395322837 × 6371000     		do = 230.689285097419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77021383-1.77030970) × cos(-1.18353079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377657867094307 × 6371000     		du = 230.668806465483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18349458)-sin(-1.18353079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377691395322837-0.377657867094307)×R²
    abs(1.77030970-1.77021383)×3.3528228529478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3528228529478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3528228529478e-05×40589641000000     		ar = 53216.2510323754m²