Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51230 / 49790
↖ ↑ ↗
← S 67.871404°
E101.414795°		 ← 230.10 m → S 67.871404°
E101.420288°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
S 67.873473°
E101.414795°		 ← 230.08 m →
52 934 m²		 S 67.873473°
E101.420288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781715393066406 y=0.759742736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781715393066406 × 216)
    floor (0.781715393066406 × 65536)
    floor (51230.5)     		tx = 51230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759742736816406 × 216)
    floor (0.759742736816406 × 65536)
    floor (49790.5)     		ty = 49790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51230 / 49790 ti = "16/51230/49790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51230/49790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51230 ÷ 216
    51230 ÷ 65536     		x = 0.781707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49790 ÷ 216
    49790 ÷ 65536     		y = 0.759735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781707763671875 × 2 - 1) × π
    0.56341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77002208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.51947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63196381066519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77002208} λ = 1.77002208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63196381066519))-π/2
    2×atan(0.195545183098748)-π/2
    2×0.193108435542531-π/2
    0.386216871085062-1.57079632675     		φ = -1.18457946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77002208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.414795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18457946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.871404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51230 KachelY 49790 1.77002208 -1.18457946 101.414795 -67.871404
    Oben rechts KachelX + 1 51231 KachelY 49790 1.77011796 -1.18457946 101.420288 -67.871404
    Unten links KachelX 51230 KachelY + 1 49791 1.77002208 -1.18461557 101.414795 -67.873473
    Unten rechts KachelX + 1 51231 KachelY + 1 49791 1.77011796 -1.18461557 101.420288 -67.873473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18457946--1.18461557) × R
    3.61100000001446e-05 × 6371000     		dl = 230.056810000921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18457946--1.18461557) × R
    3.61100000001446e-05 × 6371000     		dr = 230.056810000921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77002208-1.77011796) × cos(-1.18457946) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.376686648650111 × 6371000     		do = 230.099596824543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77002208-1.77011796) × cos(-1.18461557) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.376653198240369 × 6371000     		du = 230.079163592244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18457946)-sin(-1.18461557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376686648650111-0.376653198240369)×R²
    abs(1.77011796-1.77002208)×3.34504097429522e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.34504097429522e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.34504097429522e-05×40589641000000     		ar = 52933.6288318737m²