Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5123 / 3075
↖ ↑ ↗
← N 81.088109°
W123.717041°		 ← 189.25 m → N 81.088109°
W123.706055°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
N 81.086408°
W123.717041°		 ← 189.29 m →
35 813 m²		 N 81.086408°
W123.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156356811523438 y=0.0938568115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156356811523438 × 215)
    floor (0.156356811523438 × 32768)
    floor (5123.5)     		tx = 5123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0938568115234375 × 215)
    floor (0.0938568115234375 × 32768)
    floor (3075.5)     		ty = 3075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5123 / 3075 ti = "15/5123/3075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5123/3075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5123 ÷ 215
    5123 ÷ 32768     		x = 0.156341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3075 ÷ 215
    3075 ÷ 32768     		y = 0.093841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.68731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15926971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093841552734375 × 2 - 1) × π
    0.81231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55196878817331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15926971} λ = -2.15926971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55196878817331))-π/2
    2×atan(12.8323430944013)-π/2
    2×1.49302541043846-π/2
    2.98605082087692-1.57079632675     		φ = 1.41525449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15926971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41525449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.088109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5123 KachelY 3075 -2.15926971 1.41525449 -123.717041 81.088109
    Oben rechts KachelX + 1 5124 KachelY 3075 -2.15907796 1.41525449 -123.706055 81.088109
    Unten links KachelX 5123 KachelY + 1 3076 -2.15926971 1.41522479 -123.717041 81.086408
    Unten rechts KachelX + 1 5124 KachelY + 1 3076 -2.15907796 1.41522479 -123.706055 81.086408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41525449-1.41522479) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41525449-1.41522479) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15926971--2.15907796) × cos(1.41525449) × R
    0.000191749999999935 × 0.154915417604101 × 6371000     		do = 189.250754575247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15926971--2.15907796) × cos(1.41522479) × R
    0.000191749999999935 × 0.154944758989559 × 6371000     		du = 189.286599163371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41525449)-sin(1.41522479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154915417604101-0.154944758989559)×R²
    abs(-2.15907796--2.15926971)×2.93413854577651e-05×R²
    0.000191749999999935×2.93413854577651e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.93413854577651e-05×40589641000000     		ar = 35813.1729908931m²