Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51228 / 48247
↖ ↑ ↗
← S 64.451480°
E101.403808°		 ← 263.45 m → S 64.451480°
E101.409302°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 64.453850°
E101.403808°		 ← 263.42 m →
69 399 m²		 S 64.453850°
E101.409302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781684875488281 y=0.736198425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781684875488281 × 216)
    floor (0.781684875488281 × 65536)
    floor (51228.5)     		tx = 51228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736198425292969 × 216)
    floor (0.736198425292969 × 65536)
    floor (48247.5)     		ty = 48247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51228 / 48247 ti = "16/51228/48247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51228/48247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51228 ÷ 216
    51228 ÷ 65536     		x = 0.78167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48247 ÷ 216
    48247 ÷ 65536     		y = 0.736190795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78167724609375 × 2 - 1) × π
    0.5633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76983033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736190795898438 × 2 - 1) × π
    -0.472381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4840305384377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76983033} λ = 1.76983033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4840305384377))-π/2
    2×atan(0.226722032463691)-π/2
    2×0.222952891931125-π/2
    0.44590578386225-1.57079632675     		φ = -1.12489054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76983033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.403808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12489054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.451480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51228 KachelY 48247 1.76983033 -1.12489054 101.403808 -64.451480
    Oben rechts KachelX + 1 51229 KachelY 48247 1.76992621 -1.12489054 101.409302 -64.451480
    Unten links KachelX 51228 KachelY + 1 48248 1.76983033 -1.12493189 101.403808 -64.453850
    Unten rechts KachelX + 1 51229 KachelY + 1 48248 1.76992621 -1.12493189 101.409302 -64.453850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12489054--1.12493189) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12489054--1.12493189) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76983033-1.76992621) × cos(-1.12489054) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.43127527642625 × 6371000     		do = 263.445140892211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76983033-1.76992621) × cos(-1.12493189) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431237969244345 × 6371000     		du = 263.42235174493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12489054)-sin(-1.12493189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43127527642625-0.431237969244345)×R²
    abs(1.76992621-1.76983033)×3.73071819053106e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.73071819053106e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.73071819053106e-05×40589641000000     		ar = 69399.2100591733m²