Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51226 / 48246
↖ ↑ ↗
← S 64.449111°
E101.392822°		 ← 263.44 m → S 64.449111°
E101.398315°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 64.451480°
E101.392822°		 ← 263.42 m →
69 398 m²		 S 64.451480°
E101.398315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781654357910156 y=0.736183166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781654357910156 × 216)
    floor (0.781654357910156 × 65536)
    floor (51226.5)     		tx = 51226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736183166503906 × 216)
    floor (0.736183166503906 × 65536)
    floor (48246.5)     		ty = 48246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51226 / 48246 ti = "16/51226/48246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51226/48246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51226 ÷ 216
    51226 ÷ 65536     		x = 0.781646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48246 ÷ 216
    48246 ÷ 65536     		y = 0.736175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781646728515625 × 2 - 1) × π
    0.56329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76963859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.47235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48393466463846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76963859} λ = 1.76963859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48393466463846))-π/2
    2×atan(0.226743770208338)-π/2
    2×0.222973566824796-π/2
    0.445947133649592-1.57079632675     		φ = -1.12484919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76963859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.392822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12484919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.449111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51226 KachelY 48246 1.76963859 -1.12484919 101.392822 -64.449111
    Oben rechts KachelX + 1 51227 KachelY 48246 1.76973446 -1.12484919 101.398315 -64.449111
    Unten links KachelX 51226 KachelY + 1 48247 1.76963859 -1.12489054 101.392822 -64.451480
    Unten rechts KachelX + 1 51227 KachelY + 1 48247 1.76973446 -1.12489054 101.398315 -64.451480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12484919--1.12489054) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12484919--1.12489054) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76963859-1.76973446) × cos(-1.12484919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431312582870751 × 6371000     		do = 263.440450664561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76963859-1.76973446) × cos(-1.12489054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43127527642625 × 6371000     		du = 263.417664344517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12484919)-sin(-1.12489054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431312582870751-0.43127527642625)×R²
    abs(1.76973446-1.76963859)×3.73064445011728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73064445011728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73064445011728e-05×40589641000000     		ar = 69397.9748334271m²