Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51225 / 49625
↖ ↑ ↗
← S 67.527473°
E101.387329°		 ← 233.49 m → S 67.527473°
E101.392822°		 →
↑
233.50 m
↓
↑
233.50 m
↓
S 67.529573°
E101.387329°		 ← 233.47 m →
54 517 m²		 S 67.529573°
E101.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781639099121094 y=0.757225036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781639099121094 × 216)
    floor (0.781639099121094 × 65536)
    floor (51225.5)     		tx = 51225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757225036621094 × 216)
    floor (0.757225036621094 × 65536)
    floor (49625.5)     		ty = 49625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51225 / 49625 ti = "16/51225/49625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51225/49625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51225 ÷ 216
    51225 ÷ 65536     		x = 0.781631469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49625 ÷ 216
    49625 ÷ 65536     		y = 0.757217407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781631469726562 × 2 - 1) × π
    0.563262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76954271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757217407226562 × 2 - 1) × π
    -0.514434814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61614463379057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76954271} λ = 1.76954271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61614463379057))-π/2
    2×atan(0.198663143701042)-π/2
    2×0.196109791253891-π/2
    0.392219582507782-1.57079632675     		φ = -1.17857674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76954271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.387329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17857674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.527473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51225 KachelY 49625 1.76954271 -1.17857674 101.387329 -67.527473
    Oben rechts KachelX + 1 51226 KachelY 49625 1.76963859 -1.17857674 101.392822 -67.527473
    Unten links KachelX 51225 KachelY + 1 49626 1.76954271 -1.17861339 101.387329 -67.529573
    Unten rechts KachelX + 1 51226 KachelY + 1 49626 1.76963859 -1.17861339 101.392822 -67.529573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17857674--1.17861339) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dl = 233.497149999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17857674--1.17861339) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dr = 233.497149999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76954271-1.76963859) × cos(-1.17857674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.382240392862076 × 6371000     		do = 233.492109695427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76954271-1.76963859) × cos(-1.17861339) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38220652569931 × 6371000     		du = 233.471421888929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17857674)-sin(-1.17861339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382240392862076-0.38220652569931)×R²
    abs(1.76963859-1.76954271)×3.38671627658771e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.38671627658771e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.38671627658771e-05×40589641000000     		ar = 54517.3268953957m²