Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51224 / 48456
↖ ↑ ↗
← S 64.942160°
E101.381836°		 ← 258.69 m → S 64.942160°
E101.387329°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
S 64.944487°
E101.381836°		 ← 258.67 m →
66 927 m²		 S 64.944487°
E101.387329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781623840332031 y=0.739387512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781623840332031 × 216)
    floor (0.781623840332031 × 65536)
    floor (51224.5)     		tx = 51224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739387512207031 × 216)
    floor (0.739387512207031 × 65536)
    floor (48456.5)     		ty = 48456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51224 / 48456 ti = "16/51224/48456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51224/48456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51224 ÷ 216
    51224 ÷ 65536     		x = 0.7816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48456 ÷ 216
    48456 ÷ 65536     		y = 0.7393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7816162109375 × 2 - 1) × π
    0.563232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76944684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50406816247888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76944684} λ = 1.76944684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50406816247888))-π/2
    2×atan(0.222224274297784)-π/2
    2×0.218670901380392-π/2
    0.437341802760785-1.57079632675     		φ = -1.13345452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76944684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13345452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.942160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51224 KachelY 48456 1.76944684 -1.13345452 101.381836 -64.942160
    Oben rechts KachelX + 1 51225 KachelY 48456 1.76954271 -1.13345452 101.387329 -64.942160
    Unten links KachelX 51224 KachelY + 1 48457 1.76944684 -1.13349513 101.381836 -64.944487
    Unten rechts KachelX + 1 51225 KachelY + 1 48457 1.76954271 -1.13349513 101.387329 -64.944487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13345452--1.13349513) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dl = 258.726310000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13345452--1.13349513) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dr = 258.726310000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76944684-1.76954271) × cos(-1.13345452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42353295833346 × 6371000     		do = 258.688751141991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76944684-1.76954271) × cos(-1.13349513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423496170169215 × 6371000     		du = 258.66628138119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13345452)-sin(-1.13349513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42353295833346-0.423496170169215)×R²
    abs(1.76954271-1.76944684)×3.67881642450163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67881642450163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67881642450163e-05×40589641000000     		ar = 66926.6792713828m²