Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51223 / 48240
↖ ↑ ↗
← S 64.434892°
E101.376342°		 ← 263.60 m → S 64.434892°
E101.381836°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 64.437262°
E101.376342°		 ← 263.58 m →
69 475 m²		 S 64.437262°
E101.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781608581542969 y=0.736091613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781608581542969 × 216)
    floor (0.781608581542969 × 65536)
    floor (51223.5)     		tx = 51223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736091613769531 × 216)
    floor (0.736091613769531 × 65536)
    floor (48240.5)     		ty = 48240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51223 / 48240 ti = "16/51223/48240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51223/48240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51223 ÷ 216
    51223 ÷ 65536     		x = 0.781600952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48240 ÷ 216
    48240 ÷ 65536     		y = 0.736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781600952148438 × 2 - 1) × π
    0.563201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76935096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.47216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48335942184302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76935096} λ = 1.76935096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48335942184302))-π/2
    2×atan(0.226874240450997)-π/2
    2×0.223097653747519-π/2
    0.446195307495039-1.57079632675     		φ = -1.12460102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76935096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.376342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12460102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.434892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51223 KachelY 48240 1.76935096 -1.12460102 101.376342 -64.434892
    Oben rechts KachelX + 1 51224 KachelY 48240 1.76944684 -1.12460102 101.381836 -64.434892
    Unten links KachelX 51223 KachelY + 1 48241 1.76935096 -1.12464239 101.376342 -64.437262
    Unten rechts KachelX + 1 51224 KachelY + 1 48241 1.76944684 -1.12464239 101.381836 -64.437262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12460102--1.12464239) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dl = 263.568269999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12460102--1.12464239) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dr = 263.568269999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76935096-1.76944684) × cos(-1.12460102) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.431536469195384 × 6371000     		do = 263.604690882412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76935096-1.76944684) × cos(-1.12464239) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.43149914913563 × 6371000     		du = 263.581893868678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12460102)-sin(-1.12464239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431536469195384-0.43149914913563)×R²
    abs(1.76944684-1.76935096)×3.732005975432e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.732005975432e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.732005975432e-05×40589641000000     		ar = 69474.8280649558m²