Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51218 / 48403
↖ ↑ ↗
← S 64.818570°
E101.348877°		 ← 259.88 m → S 64.818570°
E101.354370°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
S 64.820907°
E101.348877°		 ← 259.86 m →
67 533 m²		 S 64.820907°
E101.354370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781532287597656 y=0.738578796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781532287597656 × 216)
    floor (0.781532287597656 × 65536)
    floor (51218.5)     		tx = 51218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738578796386719 × 216)
    floor (0.738578796386719 × 65536)
    floor (48403.5)     		ty = 48403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51218 / 48403 ti = "16/51218/48403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51218/48403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51218 ÷ 216
    51218 ÷ 65536     		x = 0.781524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48403 ÷ 216
    48403 ÷ 65536     		y = 0.738571166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781524658203125 × 2 - 1) × π
    0.56304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76887160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738571166992188 × 2 - 1) × π
    -0.477142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49898685111916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76887160} λ = 1.76887160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49898685111916))-π/2
    2×atan(0.223356338777432)-π/2
    2×0.21974943232179-π/2
    0.43949886464358-1.57079632675     		φ = -1.13129746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76887160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.348877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13129746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.818570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51218 KachelY 48403 1.76887160 -1.13129746 101.348877 -64.818570
    Oben rechts KachelX + 1 51219 KachelY 48403 1.76896747 -1.13129746 101.354370 -64.818570
    Unten links KachelX 51218 KachelY + 1 48404 1.76887160 -1.13133825 101.348877 -64.820907
    Unten rechts KachelX + 1 51219 KachelY + 1 48404 1.76896747 -1.13133825 101.354370 -64.820907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13129746--1.13133825) × R
    4.07899999999017e-05 × 6371000     		dl = 259.873089999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13129746--1.13133825) × R
    4.07899999999017e-05 × 6371000     		dr = 259.873089999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76887160-1.76896747) × cos(-1.13129746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425486010500121 × 6371000     		do = 259.88165151956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76887160-1.76896747) × cos(-1.13133825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425449096623732 × 6371000     		du = 259.859104975318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13129746)-sin(-1.13133825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425486010500121-0.425449096623732)×R²
    abs(1.76896747-1.76887160)×3.69138763887111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69138763887111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69138763887111e-05×40589641000000     		ar = 67533.3182036375m²