Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51215 / 48413
↖ ↑ ↗
← S 64.841932°
E101.332397°		 ← 259.68 m → S 64.841932°
E101.337891°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
S 64.844268°
E101.332397°		 ← 259.66 m →
67 432 m²		 S 64.844268°
E101.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781486511230469 y=0.738731384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781486511230469 × 216)
    floor (0.781486511230469 × 65536)
    floor (51215.5)     		tx = 51215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738731384277344 × 216)
    floor (0.738731384277344 × 65536)
    floor (48413.5)     		ty = 48413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51215 / 48413 ti = "16/51215/48413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51215/48413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51215 ÷ 216
    51215 ÷ 65536     		x = 0.781478881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48413 ÷ 216
    48413 ÷ 65536     		y = 0.738723754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781478881835938 × 2 - 1) × π
    0.562957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76858397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738723754882812 × 2 - 1) × π
    -0.477447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49994558911156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76858397} λ = 1.76858397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49994558911156))-π/2
    2×atan(0.223142301188981)-π/2
    2×0.219545555983451-π/2
    0.439091111966901-1.57079632675     		φ = -1.13170521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76858397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.332397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13170521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.841932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51215 KachelY 48413 1.76858397 -1.13170521 101.332397 -64.841932
    Oben rechts KachelX + 1 51216 KachelY 48413 1.76867985 -1.13170521 101.337891 -64.841932
    Unten links KachelX 51215 KachelY + 1 48414 1.76858397 -1.13174597 101.332397 -64.844268
    Unten rechts KachelX + 1 51216 KachelY + 1 48414 1.76867985 -1.13174597 101.337891 -64.844268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13170521--1.13174597) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dl = 259.681960000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13170521--1.13174597) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dr = 259.681960000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76858397-1.76867985) × cos(-1.13170521) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.42511697566011 × 6371000     		do = 259.683333755534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76858397-1.76867985) × cos(-1.13174597) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.425080081865034 × 6371000     		du = 259.660797126208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13170521)-sin(-1.13174597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42511697566011-0.425080081865034)×R²
    abs(1.76867985-1.76858397)×3.68937950759873e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.68937950759873e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.68937950759873e-05×40589641000000     		ar = 67432.1509201884m²