Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51213 / 48401
↖ ↑ ↗
← S 64.813895°
E101.321411°		 ← 259.93 m → S 64.813895°
E101.326904°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
S 64.816233°
E101.321411°		 ← 259.90 m →
67 562 m²		 S 64.816233°
E101.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781455993652344 y=0.738548278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781455993652344 × 216)
    floor (0.781455993652344 × 65536)
    floor (51213.5)     		tx = 51213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738548278808594 × 216)
    floor (0.738548278808594 × 65536)
    floor (48401.5)     		ty = 48401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51213 / 48401 ti = "16/51213/48401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51213/48401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51213 ÷ 216
    51213 ÷ 65536     		x = 0.781448364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48401 ÷ 216
    48401 ÷ 65536     		y = 0.738540649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781448364257812 × 2 - 1) × π
    0.562896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76839223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738540649414062 × 2 - 1) × π
    -0.477081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49879510352068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76839223} λ = 1.76839223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49879510352068))-π/2
    2×atan(0.223399170925347)-π/2
    2×0.219790228821409-π/2
    0.439580457642819-1.57079632675     		φ = -1.13121587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76839223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.321411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13121587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.813895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51213 KachelY 48401 1.76839223 -1.13121587 101.321411 -64.813895
    Oben rechts KachelX + 1 51214 KachelY 48401 1.76848810 -1.13121587 101.326904 -64.813895
    Unten links KachelX 51213 KachelY + 1 48402 1.76839223 -1.13125667 101.321411 -64.816233
    Unten rechts KachelX + 1 51214 KachelY + 1 48402 1.76848810 -1.13125667 101.326904 -64.816233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13121587--1.13125667) × R
    4.0800000000063e-05 × 6371000     		dl = 259.936800000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13121587--1.13125667) × R
    4.0800000000063e-05 × 6371000     		dr = 259.936800000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76839223-1.76848810) × cos(-1.13121587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425559845178339 × 6371000     		do = 259.926748838017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76839223-1.76848810) × cos(-1.13125667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425522923668576 × 6371000     		du = 259.904197631404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13121587)-sin(-1.13125667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425559845178339-0.425522923668576)×R²
    abs(1.76848810-1.76839223)×3.69215097625886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69215097625886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69215097625886e-05×40589641000000     		ar = 67561.5963925651m²