Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51210 / 49660
↖ ↑ ↗
← S 67.600849°
E101.304932°		 ← 232.74 m → S 67.600849°
E101.310425°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 67.602942°
E101.304932°		 ← 232.72 m →
54 165 m²		 S 67.602942°
E101.310425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781410217285156 y=0.757759094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781410217285156 × 216)
    floor (0.781410217285156 × 65536)
    floor (51210.5)     		tx = 51210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757759094238281 × 216)
    floor (0.757759094238281 × 65536)
    floor (49660.5)     		ty = 49660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51210 / 49660 ti = "16/51210/49660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51210/49660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51210 ÷ 216
    51210 ÷ 65536     		x = 0.781402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49660 ÷ 216
    49660 ÷ 65536     		y = 0.75775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781402587890625 × 2 - 1) × π
    0.56280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76810461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5155029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61950021676398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76810461} λ = 1.76810461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61950021676398))-π/2
    2×atan(0.197997630255859)-π/2
    2×0.195469465024128-π/2
    0.390938930048255-1.57079632675     		φ = -1.17985740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76810461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.304932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17985740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.600849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51210 KachelY 49660 1.76810461 -1.17985740 101.304932 -67.600849
    Oben rechts KachelX + 1 51211 KachelY 49660 1.76820048 -1.17985740 101.310425 -67.600849
    Unten links KachelX 51210 KachelY + 1 49661 1.76810461 -1.17989393 101.304932 -67.602942
    Unten rechts KachelX + 1 51211 KachelY + 1 49661 1.76820048 -1.17989393 101.310425 -67.602942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17985740--1.17989393) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dl = 232.73263000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17985740--1.17989393) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dr = 232.73263000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76810461-1.76820048) × cos(-1.17985740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381056669310797 × 6371000     		do = 232.744753291964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76810461-1.76820048) × cos(-1.17989393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381022895183571 × 6371000     		du = 232.724124468112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17985740)-sin(-1.17989393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381056669310797-0.381022895183571)×R²
    abs(1.76820048-1.76810461)×3.37741272259384e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37741272259384e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37741272259384e-05×40589641000000     		ar = 54164.8980580751m²