Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5121 / 3067
↖ ↑ ↗
← N 81.101715°
W123.739014°		 ← 188.96 m → N 81.101715°
W123.728027°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
N 81.100015°
W123.739014°		 ← 189 m →
35 711 m²		 N 81.100015°
W123.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156295776367188 y=0.0936126708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156295776367188 × 215)
    floor (0.156295776367188 × 32768)
    floor (5121.5)     		tx = 5121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936126708984375 × 215)
    floor (0.0936126708984375 × 32768)
    floor (3067.5)     		ty = 3067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5121 / 3067 ti = "15/5121/3067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5121/3067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5121 ÷ 215
    5121 ÷ 32768     		x = 0.156280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3067 ÷ 215
    3067 ÷ 32768     		y = 0.093597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.68743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15965320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093597412109375 × 2 - 1) × π
    0.81280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55350276896115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15965320} λ = -2.15965320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55350276896115))-π/2
    2×atan(12.8520427677685)-π/2
    2×1.49314413908431-π/2
    2.98628827816862-1.57079632675     		φ = 1.41549195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15965320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.739014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41549195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.101715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5121 KachelY 3067 -2.15965320 1.41549195 -123.739014 81.101715
    Oben rechts KachelX + 1 5122 KachelY 3067 -2.15946145 1.41549195 -123.728027 81.101715
    Unten links KachelX 5121 KachelY + 1 3068 -2.15965320 1.41546229 -123.739014 81.100015
    Unten rechts KachelX + 1 5122 KachelY + 1 3068 -2.15946145 1.41546229 -123.728027 81.100015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41549195-1.41546229) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dl = 188.96386000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41549195-1.41546229) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dr = 188.96386000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15965320--2.15946145) × cos(1.41549195) × R
    0.000191750000000379 × 0.154680819918268 × 6371000     		do = 188.964160834711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15965320--2.15946145) × cos(1.41546229) × R
    0.000191750000000379 × 0.154710122877156 × 6371000     		du = 188.999958479431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41549195)-sin(1.41546229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154680819918268-0.154710122877156)×R²
    abs(-2.15946145--2.15965320)×2.93029588884219e-05×R²
    0.000191750000000379×2.93029588884219e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.93029588884219e-05×40589641000000     		ar = 35710.7794663455m²