Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51206 / 49302
↖ ↑ ↗
← S 66.839487°
E101.282959°		 ← 240.23 m → S 66.839487°
E101.288452°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
S 66.841647°
E101.282959°		 ← 240.21 m →
57 712 m²		 S 66.841647°
E101.288452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781349182128906 y=0.752296447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781349182128906 × 216)
    floor (0.781349182128906 × 65536)
    floor (51206.5)     		tx = 51206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752296447753906 × 216)
    floor (0.752296447753906 × 65536)
    floor (49302.5)     		ty = 49302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51206 / 49302 ti = "16/51206/49302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51206/49302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51206 ÷ 216
    51206 ÷ 65536     		x = 0.781341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49302 ÷ 216
    49302 ÷ 65536     		y = 0.752288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781341552734375 × 2 - 1) × π
    0.56268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76772111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.50457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58517739663602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76772111} λ = 1.76772111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58517739663602))-π/2
    2×atan(0.204911439292358)-π/2
    2×0.202113606359191-π/2
    0.404227212718383-1.57079632675     		φ = -1.16656911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76772111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16656911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.839487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51206 KachelY 49302 1.76772111 -1.16656911 101.282959 -66.839487
    Oben rechts KachelX + 1 51207 KachelY 49302 1.76781698 -1.16656911 101.288452 -66.839487
    Unten links KachelX 51206 KachelY + 1 49303 1.76772111 -1.16660682 101.282959 -66.841647
    Unten rechts KachelX + 1 51207 KachelY + 1 49303 1.76781698 -1.16660682 101.288452 -66.841647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16656911--1.16660682) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16656911--1.16660682) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76772111-1.76781698) × cos(-1.16656911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393308375892384 × 6371000     		do = 240.227945833626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76772111-1.76781698) × cos(-1.16660682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393273704789336 × 6371000     		du = 240.206769147912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16656911)-sin(-1.16660682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393308375892384-0.393273704789336)×R²
    abs(1.76781698-1.76772111)×3.46711030481672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46711030481672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46711030481672e-05×40589641000000     		ar = 57712.3186330611m²