Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51201 / 48078
↖ ↑ ↗
← S 64.048171°
E101.255493°		 ← 267.32 m → S 64.048171°
E101.260987°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
S 64.050575°
E101.255493°		 ← 267.29 m →
71 458 m²		 S 64.050575°
E101.260987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781272888183594 y=0.733619689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781272888183594 × 216)
    floor (0.781272888183594 × 65536)
    floor (51201.5)     		tx = 51201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733619689941406 × 216)
    floor (0.733619689941406 × 65536)
    floor (48078.5)     		ty = 48078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51201 / 48078 ti = "16/51201/48078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51201/48078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51201 ÷ 216
    51201 ÷ 65536     		x = 0.781265258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48078 ÷ 216
    48078 ÷ 65536     		y = 0.733612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781265258789062 × 2 - 1) × π
    0.562530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76724174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.46722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46782786636612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76724174} λ = 1.76724174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46782786636612))-π/2
    2×atan(0.230425456872462)-π/2
    2×0.226472431408842-π/2
    0.452944862817684-1.57079632675     		φ = -1.11785146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76724174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.255493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11785146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.048171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51201 KachelY 48078 1.76724174 -1.11785146 101.255493 -64.048171
    Oben rechts KachelX + 1 51202 KachelY 48078 1.76733762 -1.11785146 101.260987 -64.048171
    Unten links KachelX 51201 KachelY + 1 48079 1.76724174 -1.11789342 101.255493 -64.050575
    Unten rechts KachelX + 1 51202 KachelY + 1 48079 1.76733762 -1.11789342 101.260987 -64.050575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11785146--1.11789342) × R
    4.19599999998965e-05 × 6371000     		dl = 267.327159999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11785146--1.11789342) × R
    4.19599999998965e-05 × 6371000     		dr = 267.327159999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76724174-1.76733762) × cos(-1.11785146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437615340989335 × 6371000     		do = 267.317978713864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76724174-1.76733762) × cos(-1.11789342) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437577611754659 × 6371000     		du = 267.294931755024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11785146)-sin(-1.11789342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437615340989335-0.437577611754659)×R²
    abs(1.76733762-1.76724174)×3.77292346758207e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.77292346758207e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.77292346758207e-05×40589641000000     		ar = 71458.2755375663m²