Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51199 / 49300
↖ ↑ ↗
← S 66.835165°
E101.244507°		 ← 240.30 m → S 66.835165°
E101.250000°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
S 66.837326°
E101.244507°		 ← 240.27 m →
57 729 m²		 S 66.837326°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781242370605469 y=0.752265930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781242370605469 × 216)
    floor (0.781242370605469 × 65536)
    floor (51199.5)     		tx = 51199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752265930175781 × 216)
    floor (0.752265930175781 × 65536)
    floor (49300.5)     		ty = 49300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51199 / 49300 ti = "16/51199/49300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51199/49300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51199 ÷ 216
    51199 ÷ 65536     		x = 0.781234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49300 ÷ 216
    49300 ÷ 65536     		y = 0.75225830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781234741210938 × 2 - 1) × π
    0.562469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76704999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75225830078125 × 2 - 1) × π
    -0.5045166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58498564903754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76704999} λ = 1.76704999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58498564903754))-π/2
    2×atan(0.204950734335988)-π/2
    2×0.202151317651106-π/2
    0.404302635302212-1.57079632675     		φ = -1.16649369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76704999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16649369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.835165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51199 KachelY 49300 1.76704999 -1.16649369 101.244507 -66.835165
    Oben rechts KachelX + 1 51200 KachelY 49300 1.76714587 -1.16649369 101.250000 -66.835165
    Unten links KachelX 51199 KachelY + 1 49301 1.76704999 -1.16653140 101.244507 -66.837326
    Unten rechts KachelX + 1 51200 KachelY + 1 49301 1.76714587 -1.16653140 101.250000 -66.837326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16649369--1.16653140) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16649369--1.16653140) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76704999-1.76714587) × cos(-1.16649369) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393377716420526 × 6371000     		do = 240.295360274341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76704999-1.76714587) × cos(-1.16653140) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393343046436131 × 6371000     		du = 240.274182063062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16649369)-sin(-1.16653140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393377716420526-0.393343046436131)×R²
    abs(1.76714587-1.76704999)×3.46699843951637e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46699843951637e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46699843951637e-05×40589641000000     		ar = 57728.5147969697m²