Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51197 / 49303
↖ ↑ ↗
← S 66.841647°
E101.233521°		 ← 240.21 m → S 66.841647°
E101.239014°		 →
↑
240.19 m
↓
↑
240.19 m
↓
S 66.843807°
E101.233521°		 ← 240.19 m →
57 692 m²		 S 66.843807°
E101.239014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781211853027344 y=0.752311706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781211853027344 × 216)
    floor (0.781211853027344 × 65536)
    floor (51197.5)     		tx = 51197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752311706542969 × 216)
    floor (0.752311706542969 × 65536)
    floor (49303.5)     		ty = 49303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51197 / 49303 ti = "16/51197/49303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51197/49303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51197 ÷ 216
    51197 ÷ 65536     		x = 0.781204223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49303 ÷ 216
    49303 ÷ 65536     		y = 0.752304077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781204223632812 × 2 - 1) × π
    0.562408447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76685825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.504608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58527327043526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76685825} λ = 1.76685825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58527327043526))-π/2
    2×atan(0.204891794595886)-π/2
    2×0.202094753206177-π/2
    0.404189506412355-1.57079632675     		φ = -1.16660682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76685825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.233521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16660682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.841647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51197 KachelY 49303 1.76685825 -1.16660682 101.233521 -66.841647
    Oben rechts KachelX + 1 51198 KachelY 49303 1.76695412 -1.16660682 101.239014 -66.841647
    Unten links KachelX 51197 KachelY + 1 49304 1.76685825 -1.16664452 101.233521 -66.843807
    Unten rechts KachelX + 1 51198 KachelY + 1 49304 1.76695412 -1.16664452 101.239014 -66.843807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16660682--1.16664452) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dl = 240.186700000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16660682--1.16664452) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dr = 240.186700000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76685825-1.76695412) × cos(-1.16660682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393273704789336 × 6371000     		do = 240.206769147912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76685825-1.76695412) × cos(-1.16664452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393239042321398 × 6371000     		du = 240.185597736417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16660682)-sin(-1.16664452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393273704789336-0.393239042321398)×R²
    abs(1.76695412-1.76685825)×3.46624679379848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46624679379848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46624679379848e-05×40589641000000     		ar = 57691.9286603341m²