Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51196 / 48084
↖ ↑ ↗
← S 64.062590°
E101.228027°		 ← 267.18 m → S 64.062590°
E101.233521°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 64.064993°
E101.228027°		 ← 267.16 m →
71 387 m²		 S 64.064993°
E101.233521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781196594238281 y=0.733711242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781196594238281 × 216)
    floor (0.781196594238281 × 65536)
    floor (51196.5)     		tx = 51196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733711242675781 × 216)
    floor (0.733711242675781 × 65536)
    floor (48084.5)     		ty = 48084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51196 / 48084 ti = "16/51196/48084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51196/48084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51196 ÷ 216
    51196 ÷ 65536     		x = 0.78118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48084 ÷ 216
    48084 ÷ 65536     		y = 0.73370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78118896484375 × 2 - 1) × π
    0.5623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76676237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73370361328125 × 2 - 1) × π
    -0.4674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46840310916156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76676237} λ = 1.76676237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46840310916156))-π/2
    2×atan(0.230292944405585)-π/2
    2×0.226346596421198-π/2
    0.452693192842396-1.57079632675     		φ = -1.11810313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76676237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11810313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.062590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51196 KachelY 48084 1.76676237 -1.11810313 101.228027 -64.062590
    Oben rechts KachelX + 1 51197 KachelY 48084 1.76685825 -1.11810313 101.233521 -64.062590
    Unten links KachelX 51196 KachelY + 1 48085 1.76676237 -1.11814507 101.228027 -64.064993
    Unten rechts KachelX + 1 51197 KachelY + 1 48085 1.76685825 -1.11814507 101.233521 -64.064993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11810313--1.11814507) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11810313--1.11814507) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76676237-1.76685825) × cos(-1.11810313) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.437389034960865 × 6371000     		do = 267.179739342059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76676237-1.76685825) × cos(-1.11814507) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.437351319092148 × 6371000     		du = 267.156700547834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11810313)-sin(-1.11814507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437389034960865-0.437351319092148)×R²
    abs(1.76685825-1.76676237)×3.7715868717092e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.7715868717092e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.7715868717092e-05×40589641000000     		ar = 71387.2789161262m²