Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51194 / 49306
↖ ↑ ↗
← S 66.848127°
E101.217041°		 ← 240.17 m → S 66.848127°
E101.222534°		 →
↑
240.12 m
↓
↑
240.12 m
↓
S 66.850287°
E101.217041°		 ← 240.15 m →
57 667 m²		 S 66.850287°
E101.222534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781166076660156 y=0.752357482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781166076660156 × 216)
    floor (0.781166076660156 × 65536)
    floor (51194.5)     		tx = 51194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752357482910156 × 216)
    floor (0.752357482910156 × 65536)
    floor (49306.5)     		ty = 49306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51194 / 49306 ti = "16/51194/49306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51194/49306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51194 ÷ 216
    51194 ÷ 65536     		x = 0.781158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49306 ÷ 216
    49306 ÷ 65536     		y = 0.752349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781158447265625 × 2 - 1) × π
    0.56231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76657062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.50469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58556089183298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76657062} λ = 1.76657062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58556089183298))-π/2
    2×atan(0.204832871805677)-π/2
    2×0.202038203717472-π/2
    0.404076407434943-1.57079632675     		φ = -1.16671992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76657062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16671992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.848127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51194 KachelY 49306 1.76657062 -1.16671992 101.217041 -66.848127
    Oben rechts KachelX + 1 51195 KachelY 49306 1.76666650 -1.16671992 101.222534 -66.848127
    Unten links KachelX 51194 KachelY + 1 49307 1.76657062 -1.16675761 101.217041 -66.850287
    Unten rechts KachelX + 1 51195 KachelY + 1 49307 1.76666650 -1.16675761 101.222534 -66.850287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16671992--1.16675761) × R
    3.76899999998681e-05 × 6371000     		dl = 240.12298999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16671992--1.16675761) × R
    3.76899999998681e-05 × 6371000     		dr = 240.12298999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76657062-1.76666650) × cos(-1.16671992) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393169715708851 × 6371000     		do = 240.168302731774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76657062-1.76666650) × cos(-1.16675761) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393135060759148 × 6371000     		du = 240.147133704458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16671992)-sin(-1.16675761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393169715708851-0.393135060759148)×R²
    abs(1.76666650-1.76657062)×3.46549497028392e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46549497028392e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46549497028392e-05×40589641000000     		ar = 57667.389376609m²