Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51194 / 48119
↖ ↑ ↗
← S 64.146557°
E101.217041°		 ← 266.37 m → S 64.146557°
E101.222534°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
S 64.148952°
E101.217041°		 ← 266.35 m →
70 935 m²		 S 64.148952°
E101.222534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781166076660156 y=0.734245300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781166076660156 × 216)
    floor (0.781166076660156 × 65536)
    floor (51194.5)     		tx = 51194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734245300292969 × 216)
    floor (0.734245300292969 × 65536)
    floor (48119.5)     		ty = 48119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51194 / 48119 ti = "16/51194/48119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51194/48119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51194 ÷ 216
    51194 ÷ 65536     		x = 0.781158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48119 ÷ 216
    48119 ÷ 65536     		y = 0.734237670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781158447265625 × 2 - 1) × π
    0.56231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76657062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734237670898438 × 2 - 1) × π
    -0.468475341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47175869213496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76657062} λ = 1.76657062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47175869213496))-π/2
    2×atan(0.229521472415474)-π/2
    2×0.225613855200588-π/2
    0.451227710401175-1.57079632675     		φ = -1.11956862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76657062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11956862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.146557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51194 KachelY 48119 1.76657062 -1.11956862 101.217041 -64.146557
    Oben rechts KachelX + 1 51195 KachelY 48119 1.76666650 -1.11956862 101.222534 -64.146557
    Unten links KachelX 51194 KachelY + 1 48120 1.76657062 -1.11961042 101.217041 -64.148952
    Unten rechts KachelX + 1 51195 KachelY + 1 48120 1.76666650 -1.11961042 101.222534 -64.148952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11956862--1.11961042) × R
    4.18000000002028e-05 × 6371000     		dl = 266.307800001292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11956862--1.11961042) × R
    4.18000000002028e-05 × 6371000     		dr = 266.307800001292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76657062-1.76666650) × cos(-1.11956862) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436070691055625 × 6371000     		do = 266.374427015777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76657062-1.76666650) × cos(-1.11961042) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436033074335782 × 6371000     		du = 266.351448786788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11956862)-sin(-1.11961042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436070691055625-0.436033074335782)×R²
    abs(1.76666650-1.76657062)×3.76167198435917e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76167198435917e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76167198435917e-05×40589641000000     		ar = 70934.5280048603m²