Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51190 / 49311
↖ ↑ ↗
← S 66.858924°
E101.195068°		 ← 240.04 m → S 66.858924°
E101.200561°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
S 66.861082°
E101.195068°		 ← 240.02 m →
57 621 m²		 S 66.861082°
E101.200561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781105041503906 y=0.752433776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781105041503906 × 216)
    floor (0.781105041503906 × 65536)
    floor (51190.5)     		tx = 51190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752433776855469 × 216)
    floor (0.752433776855469 × 65536)
    floor (49311.5)     		ty = 49311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51190 / 49311 ti = "16/51190/49311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51190/49311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51190 ÷ 216
    51190 ÷ 65536     		x = 0.781097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49311 ÷ 216
    49311 ÷ 65536     		y = 0.752426147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781097412109375 × 2 - 1) × π
    0.56219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76618713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752426147460938 × 2 - 1) × π
    -0.504852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58604026082918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76618713} λ = 1.76618713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58604026082918))-π/2
    2×atan(0.204734704808518)-π/2
    2×0.201943987796903-π/2
    0.403887975593806-1.57079632675     		φ = -1.16690835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76618713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.195068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16690835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.858924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51190 KachelY 49311 1.76618713 -1.16690835 101.195068 -66.858924
    Oben rechts KachelX + 1 51191 KachelY 49311 1.76628300 -1.16690835 101.200561 -66.858924
    Unten links KachelX 51190 KachelY + 1 49312 1.76618713 -1.16694603 101.195068 -66.861082
    Unten rechts KachelX + 1 51191 KachelY + 1 49312 1.76628300 -1.16694603 101.200561 -66.861082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16690835--1.16694603) × R
    3.76800000001509e-05 × 6371000     		dl = 240.059280000962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16690835--1.16694603) × R
    3.76800000001509e-05 × 6371000     		dr = 240.059280000962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76618713-1.76628300) × cos(-1.16690835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392996453767003 × 6371000     		do = 240.037427614251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76618713-1.76628300) × cos(-1.16694603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392961805221324 × 6371000     		du = 240.016264706301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16690835)-sin(-1.16694603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392996453767003-0.392961805221324)×R²
    abs(1.76628300-1.76618713)×3.46485456793055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46485456793055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46485456793055e-05×40589641000000     		ar = 57620.6718769971m²