Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5119 / 1234
↖ ↑ ↗
← N 77.293202°
E 44.956055°		 ← 1 074.84 m → N 77.293202°
E 45.000000°		 →
↑
1 075.23 m
↓
↑
1 075.23 m
↓
N 77.283532°
E 44.956055°		 ← 1 075.65 m →
1 156 139 m²		 N 77.283532°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62493896484375 y=0.15069580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62493896484375 × 213)
    floor (0.62493896484375 × 8192)
    floor (5119.5)     		tx = 5119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15069580078125 × 213)
    floor (0.15069580078125 × 8192)
    floor (1234.5)     		ty = 1234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5119 / 1234 ti = "13/5119/1234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5119/1234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5119 ÷ 213
    5119 ÷ 8192     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1234 ÷ 213
    1234 ÷ 8192     		y = 0.150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150634765625 × 2 - 1) × π
    0.69873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19512650740161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19512650740161))-π/2
    2×atan(8.98113716528109)-π/2
    2×1.45990859382419-π/2
    2.91981718764839-1.57079632675     		φ = 1.34902086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34902086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.293202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5119 KachelY 1234 0.78463117 1.34902086 44.956055 77.293202
    Oben rechts KachelX + 1 5120 KachelY 1234 0.78539816 1.34902086 45.000000 77.293202
    Unten links KachelX 5119 KachelY + 1 1235 0.78463117 1.34885209 44.956055 77.283532
    Unten rechts KachelX + 1 5120 KachelY + 1 1235 0.78539816 1.34885209 45.000000 77.283532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34902086-1.34885209) × R
    0.000168769999999929 × 6371000     		dl = 1075.23366999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34902086-1.34885209) × R
    0.000168769999999929 × 6371000     		dr = 1075.23366999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(1.34902086) × R
    0.000766989999999912 × 0.219961951726465 × 6371000     		do = 1074.84260116655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(1.34885209) × R
    0.000766989999999912 × 0.220126585154493 × 6371000     		du = 1075.64708130792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34902086)-sin(1.34885209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219961951726465-0.220126585154493)×R²
    abs(0.78539816-0.78463117)×0.000164633428028554×R²
    0.000766989999999912×0.000164633428028554×6371000²
    0.000766989999999912×0.000164633428028554×40589641000000     		ar = 1156139.45953558m²