Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5119 / 1233
↖ ↑ ↗
← N 77.302865°
E 44.956055°		 ← 1 074.04 m → N 77.302865°
E 45.000000°		 →
↑
1 074.47 m
↓
↑
1 074.47 m
↓
N 77.293202°
E 44.956055°		 ← 1 074.84 m →
1 154 453 m²		 N 77.293202°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62493896484375 y=0.15057373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62493896484375 × 213)
    floor (0.62493896484375 × 8192)
    floor (5119.5)     		tx = 5119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15057373046875 × 213)
    floor (0.15057373046875 × 8192)
    floor (1233.5)     		ty = 1233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5119 / 1233 ti = "13/5119/1233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5119/1233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5119 ÷ 213
    5119 ÷ 8192     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1233 ÷ 213
    1233 ÷ 8192     		y = 0.1505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1505126953125 × 2 - 1) × π
    0.698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19589349779553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19589349779553))-π/2
    2×atan(8.98802825357478)-π/2
    2×1.45999291662615-π/2
    2.91998583325229-1.57079632675     		φ = 1.34918951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34918951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.302865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5119 KachelY 1233 0.78463117 1.34918951 44.956055 77.302865
    Oben rechts KachelX + 1 5120 KachelY 1233 0.78539816 1.34918951 45.000000 77.302865
    Unten links KachelX 5119 KachelY + 1 1234 0.78463117 1.34902086 44.956055 77.293202
    Unten rechts KachelX + 1 5120 KachelY + 1 1234 0.78539816 1.34902086 45.000000 77.293202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34918951-1.34902086) × R
    0.000168649999999992 × 6371000     		dl = 1074.46914999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34918951-1.34902086) × R
    0.000168649999999992 × 6371000     		dr = 1074.46914999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(1.34918951) × R
    0.000766989999999912 × 0.219797429098657 × 6371000     		do = 1074.03866244971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(1.34902086) × R
    0.000766989999999912 × 0.219961951726465 × 6371000     		du = 1074.84260116655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34918951)-sin(1.34902086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219797429098657-0.219961951726465)×R²
    abs(0.78539816-0.78463117)×0.000164522627807973×R²
    0.000766989999999912×0.000164522627807973×6371000²
    0.000766989999999912×0.000164522627807973×40589641000000     		ar = 1154453.31512191m²