Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51189 / 49305
↖ ↑ ↗
← S 66.845967°
E101.189575°		 ← 240.16 m → S 66.845967°
E101.195068°		 →
↑
240.19 m
↓
↑
240.19 m
↓
S 66.848127°
E101.189575°		 ← 240.14 m →
57 682 m²		 S 66.848127°
E101.195068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781089782714844 y=0.752342224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781089782714844 × 216)
    floor (0.781089782714844 × 65536)
    floor (51189.5)     		tx = 51189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752342224121094 × 216)
    floor (0.752342224121094 × 65536)
    floor (49305.5)     		ty = 49305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51189 / 49305 ti = "16/51189/49305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51189/49305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51189 ÷ 216
    51189 ÷ 65536     		x = 0.781082153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49305 ÷ 216
    49305 ÷ 65536     		y = 0.752334594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781082153320312 × 2 - 1) × π
    0.562164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76609126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752334594726562 × 2 - 1) × π
    -0.504669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58546501803374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76609126} λ = 1.76609126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58546501803374))-π/2
    2×atan(0.204852510852726)-π/2
    2×0.202057051885437-π/2
    0.404114103770874-1.57079632675     		φ = -1.16668222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76609126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.189575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16668222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.845967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51189 KachelY 49305 1.76609126 -1.16668222 101.189575 -66.845967
    Oben rechts KachelX + 1 51190 KachelY 49305 1.76618713 -1.16668222 101.195068 -66.845967
    Unten links KachelX 51189 KachelY + 1 49306 1.76609126 -1.16671992 101.189575 -66.848127
    Unten rechts KachelX + 1 51190 KachelY + 1 49306 1.76618713 -1.16671992 101.195068 -66.848127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16668222--1.16671992) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dl = 240.186700000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16668222--1.16671992) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dr = 240.186700000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76609126-1.76618713) × cos(-1.16668222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393204379294553 × 6371000     		do = 240.164425983549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76609126-1.76618713) × cos(-1.16671992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393169715708851 × 6371000     		du = 240.143253889338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16668222)-sin(-1.16671992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393204379294553-0.393169715708851)×R²
    abs(1.76618713-1.76609126)×3.46635857021993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46635857021993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46635857021993e-05×40589641000000     		ar = 57681.7583138281m²