Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51187 / 49266
↖ ↑ ↗
← S 66.761585°
E101.178589°		 ← 240.99 m → S 66.761585°
E101.184082°		 →
↑
241.01 m
↓
↑
241.01 m
↓
S 66.763752°
E101.178589°		 ← 240.97 m →
58 080 m²		 S 66.763752°
E101.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781059265136719 y=0.751747131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781059265136719 × 216)
    floor (0.781059265136719 × 65536)
    floor (51187.5)     		tx = 51187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751747131347656 × 216)
    floor (0.751747131347656 × 65536)
    floor (49266.5)     		ty = 49266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51187 / 49266 ti = "16/51187/49266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51187/49266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51187 ÷ 216
    51187 ÷ 65536     		x = 0.781051635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49266 ÷ 216
    49266 ÷ 65536     		y = 0.751739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781051635742188 × 2 - 1) × π
    0.562103271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76589951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.50347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58172593986337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76589951} λ = 1.76589951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58172593986337))-π/2
    2×atan(0.205619904181964)-π/2
    2×0.202793427637927-π/2
    0.405586855275854-1.57079632675     		φ = -1.16520947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76589951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.178589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16520947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.761585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51187 KachelY 49266 1.76589951 -1.16520947 101.178589 -66.761585
    Oben rechts KachelX + 1 51188 KachelY 49266 1.76599538 -1.16520947 101.184082 -66.761585
    Unten links KachelX 51187 KachelY + 1 49267 1.76589951 -1.16524730 101.178589 -66.763752
    Unten rechts KachelX + 1 51188 KachelY + 1 49267 1.76599538 -1.16524730 101.184082 -66.763752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16520947--1.16524730) × R
    3.78300000001275e-05 × 6371000     		dl = 241.014930000812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16520947--1.16524730) × R
    3.78300000001275e-05 × 6371000     		dr = 241.014930000812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76589951-1.76599538) × cos(-1.16520947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394558073976597 × 6371000     		do = 240.991246139655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76589951-1.76599538) × cos(-1.16524730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394523312804108 × 6371000     		du = 240.970014440628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16520947)-sin(-1.16524730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394558073976597-0.394523312804108)×R²
    abs(1.76599538-1.76589951)×3.47611724887953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47611724887953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47611724887953e-05×40589641000000     		ar = 58079.9297475725m²