Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51186 / 49255
↖ ↑ ↗
← S 66.737732°
E101.173095°		 ← 241.25 m → S 66.737732°
E101.178589°		 →
↑
241.27 m
↓
↑
241.27 m
↓
S 66.739902°
E101.173095°		 ← 241.23 m →
58 204 m²		 S 66.739902°
E101.178589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781044006347656 y=0.751579284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781044006347656 × 216)
    floor (0.781044006347656 × 65536)
    floor (51186.5)     		tx = 51186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751579284667969 × 216)
    floor (0.751579284667969 × 65536)
    floor (49255.5)     		ty = 49255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51186 / 49255 ti = "16/51186/49255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51186/49255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51186 ÷ 216
    51186 ÷ 65536     		x = 0.781036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49255 ÷ 216
    49255 ÷ 65536     		y = 0.751571655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781036376953125 × 2 - 1) × π
    0.56207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76580363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751571655273438 × 2 - 1) × π
    -0.503143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58067132807173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76580363} λ = 1.76580363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58067132807173))-π/2
    2×atan(0.205836867743567)-π/2
    2×0.203001581269412-π/2
    0.406003162538825-1.57079632675     		φ = -1.16479316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76580363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.173095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16479316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.737732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51186 KachelY 49255 1.76580363 -1.16479316 101.173095 -66.737732
    Oben rechts KachelX + 1 51187 KachelY 49255 1.76589951 -1.16479316 101.178589 -66.737732
    Unten links KachelX 51186 KachelY + 1 49256 1.76580363 -1.16483103 101.173095 -66.739902
    Unten rechts KachelX + 1 51187 KachelY + 1 49256 1.76589951 -1.16483103 101.178589 -66.739902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16479316--1.16483103) × R
    3.78699999998844e-05 × 6371000     		dl = 241.269769999263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16479316--1.16483103) × R
    3.78699999998844e-05 × 6371000     		dr = 241.269769999263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76580363-1.76589951) × cos(-1.16479316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394940574962967 × 6371000     		do = 241.250034728021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76580363-1.76589951) × cos(-1.16483103) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394905783258251 × 6371000     		du = 241.228782163703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16479316)-sin(-1.16483103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394940574962967-0.394905783258251)×R²
    abs(1.76589951-1.76580363)×3.47917047168189e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.47917047168189e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.47917047168189e-05×40589641000000     		ar = 58203.7765971169m²