Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51185 / 49261
↖ ↑ ↗
← S 66.750746°
E101.167603°		 ← 241.10 m → S 66.750746°
E101.173095°		 →
↑
241.08 m
↓
↑
241.08 m
↓
S 66.752914°
E101.167603°		 ← 241.08 m →
58 121 m²		 S 66.752914°
E101.173095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781028747558594 y=0.751670837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781028747558594 × 216)
    floor (0.781028747558594 × 65536)
    floor (51185.5)     		tx = 51185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751670837402344 × 216)
    floor (0.751670837402344 × 65536)
    floor (49261.5)     		ty = 49261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51185 / 49261 ti = "16/51185/49261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51185/49261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51185 ÷ 216
    51185 ÷ 65536     		x = 0.781021118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49261 ÷ 216
    49261 ÷ 65536     		y = 0.751663208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781021118164062 × 2 - 1) × π
    0.562042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76570776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751663208007812 × 2 - 1) × π
    -0.503326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58124657086717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76570776} λ = 1.76570776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58124657086717))-π/2
    2×atan(0.205718495617982)-π/2
    2×0.202888017921914-π/2
    0.405776035843828-1.57079632675     		φ = -1.16502029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76570776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16502029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.750746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51185 KachelY 49261 1.76570776 -1.16502029 101.167603 -66.750746
    Oben rechts KachelX + 1 51186 KachelY 49261 1.76580363 -1.16502029 101.173095 -66.750746
    Unten links KachelX 51185 KachelY + 1 49262 1.76570776 -1.16505813 101.167603 -66.752914
    Unten rechts KachelX + 1 51186 KachelY + 1 49262 1.76580363 -1.16505813 101.173095 -66.752914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16502029--1.16505813) × R
    3.78400000000667e-05 × 6371000     		dl = 241.078640000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16502029--1.16505813) × R
    3.78400000000667e-05 × 6371000     		dr = 241.078640000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76570776-1.76580363) × cos(-1.16502029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394731898932102 × 6371000     		do = 241.097416296599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76570776-1.76580363) × cos(-1.16505813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394697131395724 × 6371000     		du = 241.076180710586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16502029)-sin(-1.16505813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394731898932102-0.394697131395724)×R²
    abs(1.76580363-1.76570776)×3.47675363782662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47675363782662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47675363782662e-05×40589641000000     		ar = 58120.8775124308m²