Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51185 / 48109
↖ ↑ ↗
← S 64.122592°
E101.167603°		 ← 266.58 m → S 64.122592°
E101.173095°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 64.124990°
E101.167603°		 ← 266.55 m →
71 056 m²		 S 64.124990°
E101.173095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781028747558594 y=0.734092712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781028747558594 × 216)
    floor (0.781028747558594 × 65536)
    floor (51185.5)     		tx = 51185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734092712402344 × 216)
    floor (0.734092712402344 × 65536)
    floor (48109.5)     		ty = 48109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51185 / 48109 ti = "16/51185/48109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51185/48109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51185 ÷ 216
    51185 ÷ 65536     		x = 0.781021118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48109 ÷ 216
    48109 ÷ 65536     		y = 0.734085083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781021118164062 × 2 - 1) × π
    0.562042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76570776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734085083007812 × 2 - 1) × π
    -0.468170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47079995414256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76570776} λ = 1.76570776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47079995414256))-π/2
    2×atan(0.229741628890475)-π/2
    2×0.225822984168689-π/2
    0.451645968337379-1.57079632675     		φ = -1.11915036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76570776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11915036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.122592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51185 KachelY 48109 1.76570776 -1.11915036 101.167603 -64.122592
    Oben rechts KachelX + 1 51186 KachelY 48109 1.76580363 -1.11915036 101.173095 -64.122592
    Unten links KachelX 51185 KachelY + 1 48110 1.76570776 -1.11919220 101.167603 -64.124990
    Unten rechts KachelX + 1 51186 KachelY + 1 48110 1.76580363 -1.11919220 101.173095 -64.124990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11915036--1.11919220) × R
    4.18400000001817e-05 × 6371000     		dl = 266.562640001158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11915036--1.11919220) × R
    4.18400000001817e-05 × 6371000     		dr = 266.562640001158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76570776-1.76580363) × cos(-1.11915036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436447050267407 × 6371000     		do = 266.576520555902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76570776-1.76580363) × cos(-1.11919220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436409405184538 × 6371000     		du = 266.553527399685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11915036)-sin(-1.11919220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436447050267407-0.436409405184538)×R²
    abs(1.76580363-1.76570776)×3.76450828693531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76450828693531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76450828693531e-05×40589641000000     		ar = 71056.2765341176m²