Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51182 / 49274
↖ ↑ ↗
← S 66.778918°
E101.151123°		 ← 240.82 m → S 66.778918°
E101.156616°		 →
↑
240.82 m
↓
↑
240.82 m
↓
S 66.781084°
E101.151123°		 ← 240.80 m →
57 993 m²		 S 66.781084°
E101.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780982971191406 y=0.751869201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780982971191406 × 216)
    floor (0.780982971191406 × 65536)
    floor (51182.5)     		tx = 51182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751869201660156 × 216)
    floor (0.751869201660156 × 65536)
    floor (49274.5)     		ty = 49274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51182 / 49274 ti = "16/51182/49274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51182/49274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51182 ÷ 216
    51182 ÷ 65536     		x = 0.780975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49274 ÷ 216
    49274 ÷ 65536     		y = 0.751861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780975341796875 × 2 - 1) × π
    0.56195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76542014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.50372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58249293025729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76542014} λ = 1.76542014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58249293025729))-π/2
    2×atan(0.205462256155647)-π/2
    2×0.202642169821365-π/2
    0.405284339642729-1.57079632675     		φ = -1.16551199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76542014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16551199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.778918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51182 KachelY 49274 1.76542014 -1.16551199 101.151123 -66.778918
    Oben rechts KachelX + 1 51183 KachelY 49274 1.76551601 -1.16551199 101.156616 -66.778918
    Unten links KachelX 51182 KachelY + 1 49275 1.76542014 -1.16554979 101.151123 -66.781084
    Unten rechts KachelX + 1 51183 KachelY + 1 49275 1.76551601 -1.16554979 101.156616 -66.781084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16551199--1.16554979) × R
    3.78000000000878e-05 × 6371000     		dl = 240.823800000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16551199--1.16554979) × R
    3.78000000000878e-05 × 6371000     		dr = 240.823800000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76542014-1.76551601) × cos(-1.16551199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394280079069352 × 6371000     		do = 240.821450250188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76542014-1.76551601) × cos(-1.16554979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394245340953357 × 6371000     		du = 240.800232633785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16551199)-sin(-1.16554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394280079069352-0.394245340953357)×R²
    abs(1.76551601-1.76542014)×3.47381159955251e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47381159955251e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47381159955251e-05×40589641000000     		ar = 57992.9819240277m²