Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5118 / 19450
↖ ↑ ↗
← S 31.896214°
W123.771972°		 ← 1 037.13 m → S 31.896214°
W123.760987°		 →
↑
1 037.14 m
↓
↑
1 037.14 m
↓
S 31.905542°
W123.771972°		 ← 1 037.02 m →
1 075 585 m²		 S 31.905542°
W123.760987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156204223632812 y=0.593582153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156204223632812 × 215)
    floor (0.156204223632812 × 32768)
    floor (5118.5)     		tx = 5118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593582153320312 × 215)
    floor (0.593582153320312 × 32768)
    floor (19450.5)     		ty = 19450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5118 / 19450 ti = "15/5118/19450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5118/19450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5118 ÷ 215
    5118 ÷ 32768     		x = 0.15618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19450 ÷ 215
    19450 ÷ 32768     		y = 0.59356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.6876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16022844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.587898136940369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16022844} λ = -2.16022844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587898136940369))-π/2
    2×atan(0.55549363009696)-π/2
    2×0.507051182750722-π/2
    1.01410236550144-1.57079632675     		φ = -0.55669396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16022844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.771972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55669396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.896214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5118 KachelY 19450 -2.16022844 -0.55669396 -123.771972 -31.896214
    Oben rechts KachelX + 1 5119 KachelY 19450 -2.16003670 -0.55669396 -123.760987 -31.896214
    Unten links KachelX 5118 KachelY + 1 19451 -2.16022844 -0.55685675 -123.771972 -31.905542
    Unten rechts KachelX + 1 5119 KachelY + 1 19451 -2.16003670 -0.55685675 -123.760987 -31.905542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55669396--0.55685675) × R
    0.000162789999999968 × 6371000     		dl = 1037.1350899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55669396--0.55685675) × R
    0.000162789999999968 × 6371000     		dr = 1037.1350899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16022844--2.16003670) × cos(-0.55669396) × R
    0.000191739999999996 × 0.849006600429345 × 6371000     		do = 1037.12569638302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16022844--2.16003670) × cos(-0.55685675) × R
    0.000191739999999996 × 0.848920573835155 × 6371000     		du = 1037.02060839977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55669396)-sin(-0.55685675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849006600429345-0.848920573835155)×R²
    abs(-2.16003670--2.16022844)×8.60265941906579e-05×R²
    0.000191739999999996×8.60265941906579e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.60265941906579e-05×40589641000000     		ar = 1075584.95961697m²