Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51179 / 48115
↖ ↑ ↗
← S 64.136974°
E101.134644°		 ← 266.44 m → S 64.136974°
E101.140137°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
S 64.139370°
E101.134644°		 ← 266.42 m →
70 986 m²		 S 64.139370°
E101.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780937194824219 y=0.734184265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780937194824219 × 216)
    floor (0.780937194824219 × 65536)
    floor (51179.5)     		tx = 51179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734184265136719 × 216)
    floor (0.734184265136719 × 65536)
    floor (48115.5)     		ty = 48115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51179 / 48115 ti = "16/51179/48115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51179/48115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51179 ÷ 216
    51179 ÷ 65536     		x = 0.780929565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48115 ÷ 216
    48115 ÷ 65536     		y = 0.734176635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780929565429688 × 2 - 1) × π
    0.561859130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76513252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734176635742188 × 2 - 1) × π
    -0.468353271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.471375196938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76513252} λ = 1.76513252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.471375196938))-π/2
    2×atan(0.229609509677599)-π/2
    2×0.225697485138619-π/2
    0.451394970277238-1.57079632675     		φ = -1.11940136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76513252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.134644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11940136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.136974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51179 KachelY 48115 1.76513252 -1.11940136 101.134644 -64.136974
    Oben rechts KachelX + 1 51180 KachelY 48115 1.76522839 -1.11940136 101.140137 -64.136974
    Unten links KachelX 51179 KachelY + 1 48116 1.76513252 -1.11944318 101.134644 -64.139370
    Unten rechts KachelX + 1 51180 KachelY + 1 48116 1.76522839 -1.11944318 101.140137 -64.139370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11940136--1.11944318) × R
    4.18200000000812e-05 × 6371000     		dl = 266.435220000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11940136--1.11944318) × R
    4.18200000000812e-05 × 6371000     		dr = 266.435220000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76513252-1.76522839) × cos(-1.11940136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436221204305509 × 6371000     		do = 266.43857660447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76513252-1.76522839) × cos(-1.11944318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43618357263768 × 6371000     		du = 266.415591641996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11940136)-sin(-1.11944318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436221204305509-0.43618357263768)×R²
    abs(1.76522839-1.76513252)×3.76316678285527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76316678285527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76316678285527e-05×40589641000000     		ar = 70985.5587827377m²