Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51176 / 48107
↖ ↑ ↗
← S 64.117797°
E101.118164°		 ← 266.62 m → S 64.117797°
E101.123657°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 64.120194°
E101.118164°		 ← 266.60 m →
71 086 m²		 S 64.120194°
E101.123657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780891418457031 y=0.734062194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780891418457031 × 216)
    floor (0.780891418457031 × 65536)
    floor (51176.5)     		tx = 51176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734062194824219 × 216)
    floor (0.734062194824219 × 65536)
    floor (48107.5)     		ty = 48107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51176 / 48107 ti = "16/51176/48107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51176/48107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51176 ÷ 216
    51176 ÷ 65536     		x = 0.7808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48107 ÷ 216
    48107 ÷ 65536     		y = 0.734054565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7808837890625 × 2 - 1) × π
    0.561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76484490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734054565429688 × 2 - 1) × π
    -0.468109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47060820654408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76484490} λ = 1.76484490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47060820654408))-π/2
    2×atan(0.229785685519828)-π/2
    2×0.225864831615329-π/2
    0.451729663230658-1.57079632675     		φ = -1.11906666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76484490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11906666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.117797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51176 KachelY 48107 1.76484490 -1.11906666 101.118164 -64.117797
    Oben rechts KachelX + 1 51177 KachelY 48107 1.76494077 -1.11906666 101.123657 -64.117797
    Unten links KachelX 51176 KachelY + 1 48108 1.76484490 -1.11910851 101.118164 -64.120194
    Unten rechts KachelX + 1 51177 KachelY + 1 48108 1.76494077 -1.11910851 101.123657 -64.120194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11906666--1.11910851) × R
    4.18499999998989e-05 × 6371000     		dl = 266.626349999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11906666--1.11910851) × R
    4.18499999998989e-05 × 6371000     		dr = 266.626349999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76484490-1.76494077) × cos(-1.11906666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436522356134834 × 6371000     		do = 266.622516458735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76484490-1.76494077) × cos(-1.11910851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436484703583355 × 6371000     		du = 266.599518740783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11906666)-sin(-1.11910851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436522356134834-0.436484703583355)×R²
    abs(1.76494077-1.76484490)×3.76525514788617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76525514788617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76525514788617e-05×40589641000000     		ar = 71085.5225028224m²