Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51175 / 48108
↖ ↑ ↗
← S 64.120194°
E101.112671°		 ← 266.63 m → S 64.120194°
E101.118164°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 64.122592°
E101.112671°		 ← 266.60 m →
71 087 m²		 S 64.122592°
E101.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780876159667969 y=0.734077453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780876159667969 × 216)
    floor (0.780876159667969 × 65536)
    floor (51175.5)     		tx = 51175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734077453613281 × 216)
    floor (0.734077453613281 × 65536)
    floor (48108.5)     		ty = 48108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51175 / 48108 ti = "16/51175/48108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51175/48108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51175 ÷ 216
    51175 ÷ 65536     		x = 0.780868530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48108 ÷ 216
    48108 ÷ 65536     		y = 0.73406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780868530273438 × 2 - 1) × π
    0.561737060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76474902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.4681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47070408034332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76474902} λ = 1.76474902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47070408034332))-π/2
    2×atan(0.229763656149182)-π/2
    2×0.225843906989582-π/2
    0.451687813979163-1.57079632675     		φ = -1.11910851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76474902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.112671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11910851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.120194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51175 KachelY 48108 1.76474902 -1.11910851 101.112671 -64.120194
    Oben rechts KachelX + 1 51176 KachelY 48108 1.76484490 -1.11910851 101.118164 -64.120194
    Unten links KachelX 51175 KachelY + 1 48109 1.76474902 -1.11915036 101.112671 -64.122592
    Unten rechts KachelX + 1 51176 KachelY + 1 48109 1.76484490 -1.11915036 101.118164 -64.122592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11910851--1.11915036) × R
    4.18499999998989e-05 × 6371000     		dl = 266.626349999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11910851--1.11915036) × R
    4.18499999998989e-05 × 6371000     		dr = 266.626349999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76474902-1.76484490) × cos(-1.11910851) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436484703583355 × 6371000     		do = 266.627327181079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76474902-1.76484490) × cos(-1.11915036) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436447050267407 × 6371000     		du = 266.604326597305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11910851)-sin(-1.11915036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436484703583355-0.436447050267407)×R²
    abs(1.76484490-1.76474902)×3.76533159479608e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76533159479608e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76533159479608e-05×40589641000000     		ar = 71086.8047856319m²