Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51170 / 49829
↖ ↑ ↗
← S 67.951963°
E101.085205°		 ← 229.30 m → S 67.951963°
E101.090698°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 67.954025°
E101.085205°		 ← 229.28 m →
52 575 m²		 S 67.954025°
E101.090698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780799865722656 y=0.760337829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780799865722656 × 216)
    floor (0.780799865722656 × 65536)
    floor (51170.5)     		tx = 51170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760337829589844 × 216)
    floor (0.760337829589844 × 65536)
    floor (49829.5)     		ty = 49829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51170 / 49829 ti = "16/51170/49829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51170/49829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51170 ÷ 216
    51170 ÷ 65536     		x = 0.780792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49829 ÷ 216
    49829 ÷ 65536     		y = 0.760330200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780792236328125 × 2 - 1) × π
    0.56158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76426965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760330200195312 × 2 - 1) × π
    -0.520660400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63570288883556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76426965} λ = 1.76426965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63570288883556))-π/2
    2×atan(0.194815389601024)-π/2
    2×0.192405423555054-π/2
    0.384810847110108-1.57079632675     		φ = -1.18598548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76426965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18598548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.951963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51170 KachelY 49829 1.76426965 -1.18598548 101.085205 -67.951963
    Oben rechts KachelX + 1 51171 KachelY 49829 1.76436553 -1.18598548 101.090698 -67.951963
    Unten links KachelX 51170 KachelY + 1 49830 1.76426965 -1.18602147 101.085205 -67.954025
    Unten rechts KachelX + 1 51171 KachelY + 1 49830 1.76436553 -1.18602147 101.090698 -67.954025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18598548--1.18602147) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18598548--1.18602147) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76426965-1.76436553) × cos(-1.18598548) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.375383823135969 × 6371000     		do = 229.303763931045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76426965-1.76436553) × cos(-1.18602147) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.375350464861202 × 6371000     		du = 229.283386979534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18598548)-sin(-1.18602147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375383823135969-0.375350464861202)×R²
    abs(1.76436553-1.76426965)×3.33582747669148e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.33582747669148e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.33582747669148e-05×40589641000000     		ar = 52575.2490041248m²