Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51170 / 49690
↖ ↑ ↗
← S 67.663562°
E101.085205°		 ← 232.15 m → S 67.663562°
E101.090698°		 →
↑
232.16 m
↓
↑
232.16 m
↓
S 67.665650°
E101.085205°		 ← 232.13 m →
53 894 m²		 S 67.665650°
E101.090698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780799865722656 y=0.758216857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780799865722656 × 216)
    floor (0.780799865722656 × 65536)
    floor (51170.5)     		tx = 51170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758216857910156 × 216)
    floor (0.758216857910156 × 65536)
    floor (49690.5)     		ty = 49690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51170 / 49690 ti = "16/51170/49690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51170/49690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51170 ÷ 216
    51170 ÷ 65536     		x = 0.780792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49690 ÷ 216
    49690 ÷ 65536     		y = 0.758209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780792236328125 × 2 - 1) × π
    0.56158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76426965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.51641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62237643074118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76426965} λ = 1.76426965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62237643074118))-π/2
    2×atan(0.197428964897918)-π/2
    2×0.194922192848006-π/2
    0.389844385696013-1.57079632675     		φ = -1.18095194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76426965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18095194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.663562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51170 KachelY 49690 1.76426965 -1.18095194 101.085205 -67.663562
    Oben rechts KachelX + 1 51171 KachelY 49690 1.76436553 -1.18095194 101.090698 -67.663562
    Unten links KachelX 51170 KachelY + 1 49691 1.76426965 -1.18098838 101.085205 -67.665650
    Unten rechts KachelX + 1 51171 KachelY + 1 49691 1.76436553 -1.18098838 101.090698 -67.665650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18095194--1.18098838) × R
    3.64400000001375e-05 × 6371000     		dl = 232.159240000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18095194--1.18098838) × R
    3.64400000001375e-05 × 6371000     		dr = 232.159240000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76426965-1.76436553) × cos(-1.18095194) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.380044482457288 × 6371000     		do = 232.150734575254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76426965-1.76436553) × cos(-1.18098838) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.380010776363361 × 6371000     		du = 232.130145157894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18095194)-sin(-1.18098838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380044482457288-0.380010776363361)×R²
    abs(1.76436553-1.76426965)×3.37060939268885e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.37060939268885e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.37060939268885e-05×40589641000000     		ar = 53893.5480987461m²